Wie funktioniert die Schwerkraft im Untergrund?

Die anderen Antworten liefern eine Annäherung erster Ordnung unter der Annahme einer gleichmäßigen Dichte (obwohl die von Adam Zalcman auf Abweichungen von der Linearität anspielt). (Zusammenfassung: Die gesamte Masse, die weiter vom Zentrum entfernt ist, hebt sich auf, und die Schwerkraft nimmt linear mit der Tiefe von 1 g an der Oberfläche auf Null im Zentrum ab.)

Tatsächlich ist der Erdkern jedoch wesentlich dichter als die äußeren Schichten (Mantel und Kruste), und die Schwerkraft nimmt beim Abstieg tatsächlich etwas zu und erreicht ein Maximum an der Grenze zwischen dem äußeren Kern und dem unteren Mantel. Innerhalb des Kerns fällt es schnell auf Null, wenn Sie sich dem Zentrum nähern, wo die gesamte Masse des Planeten eine Anziehungskraft aus allen Richtungen ausübt.

Der Wikipedia-Artikel über "Schwerkraft der Erde" geht ins Detail, einschließlich dieser Grafik:

"PREM" in der Abbildung bezieht sich auf das vorläufige Bezugserdmodell.

Größere Versionen der Grafik können hier eingesehen werden

Und es gibt noch andere, kleinere Effekte. Die Rotation der Erde führt zu einer geringeren effektiven Schwerkraft in der Nähe des Äquators, die aus dieser Rotation resultierende äquatoriale Wölbung hat ebenfalls einen geringen Effekt, und Massenkonzentrationen haben lokale Auswirkungen.

Unter der Annahme einer kugelsymmetrischen Massenverteilung innerhalb der Erde kann man das Gravitationsfeld innerhalb des Planeten mit dem Gaußschen Gravitationsgesetz berechnen . Eine Folge des Gesetzes ist, dass man bei der Berechnung des Gravitationsfeldes in einem Abstand r < R (wobei R der Radius der Erde ist) die gesamte Masse außerhalb des Radius r vom Zentrum ignorieren kann

wobei g _r das Gravitationsfeld im Abstand r vom Erdmittelpunkt ist, ρ die Erddichte ist, S _r die Kugel mit Radius r ist , die auf dem Massenmittelpunkt der Erde zentriert ist, und B _r das von S _r eingeschlossene Volumen ist . Unter der Annahme, dass ρ nur vom Abstand r vom Erdmittelpunkt abhängt , können wir dies wie folgt vereinfachen

Wenn wir M _r setzen, um den Teil der Erdmasse zu bezeichnen, der in S _r eingeschlossen ist, können wir die letzte Formel umschreiben als

Wenn nun ρ _r die durchschnittliche Dichte des Teils der Erde bezeichnet, der in S _r eingeschlossen ist, haben wir

Die Schlussfolgerung ist, dass die Schwerkraft im Inneren der Erde ungefähr linear von der Entfernung vom Zentrum des Planeten abhängt und Dichtevariationen die Abweichungen von der Linearität erklären.

Eine interessante Möglichkeit, dies zu veranschaulichen, besteht darin, sich einen über 12.700 km langen Aufzug von Hamilton, Neuseeland, nach Cordoba, Spanien, vorzustellen. Während der Fahrt (die bei einer Durchschnittsgeschwindigkeit von 200 km/h fast drei Tage dauern würde) würden die Passagiere eine allmähliche und ungefähr lineare Gewichtsabnahme spüren und in der Mitte der Fahrt würden sie Schwerelosigkeit erleben, gefolgt von einer allmählichen Gewichtszunahme, wenn sie sich der Oberfläche nähern Die andere Seite. Außerdem würden etwa in der Mitte der Fahrt Boden und Decke vertauscht.

Die Erdbeschleunigung in der Tiefe dunter der Erdoberfläche ist gegeben durch:

$g(d) = G M_e \dfrac{R_e - d}{R_e^3}$

Wo,

G = Universal gravitational constant
Me = Mass of the earth
Re = Radius of the earth
d = depth below the earth's surface

Dies ist ein wirklich interessantes Problem, das eine erste Lösung von den alten Griechen hatte (ich hörte Carlo Rovelli, dies zu erzählen). Wenn Sie ein Loch in die Erde graben, beginnt die Schwerkraft tatsächlich proportional zur Entfernung zu werden, und wenn Sie den Weg graben, um ein Loch auf der anderen Seite der Erde zu öffnen, wird eine Masse in dem von Ihnen geschaffenen Brunnen oszillieren.