Wie können wir Polarisation und Frequenz interpretieren, wenn wir es mit einem einzelnen Photon zu tun haben?

Die Maxwell-Gleichungen definieren genau die Ausbreitung eines einsamen Photons im freien Raum. Der Zustand eines Photons kann durch einen vektorwertigen Zustand im Hilbert-Raum definiert werden, und dieser vektorwertige Zustand ist eine präzise mathematische Analogie des$\vec{E}$und$\vec{H}$Felder eines makroskopischen, klassischen Feldes. Das heißt nicht, dass für ein einzelnes Photon die$\vec{E}$und$\vec{H}$sind als elektrisches und magnetisches Feld zu interpretieren: der Vektorwert$\vec{E}$und$\vec{H}$Zustand ist der sich einheitlich entwickelnde Quantenzustand, bevor eine Messung durchgeführt wird. Aber:

Es gibt eine Eins-zu-Eins-Entsprechung zwischen jedem klassischen elektromagnetischen Feld für ein gegebenes System und einem Ein-Photonen-Quantenzustand für ein Photon, das sich in diesem System ausbreitet.

Dies ist die erste quantisierte Beschreibung des Photons. Um zu verstehen, welche Messungen ein Photonenzustand impliziert, muss man zu einer zweiten quantisierten Beschreibung wechseln, wo wir elektrische und magnetische Feldobservable haben, deren Messungen sich mehr und mehr wie klassische Messungen verhalten, wenn die Anzahl der Photonen größer wird. Ein klassischer Zustand ist ein kohärenter Zustand des zweiten quantisierten Feldes. Da ein Photon jedoch durch einen vektorwertigen Quantenzustand beschrieben werden kann, sollte klar sein, dass Polarisation und alle ähnlichen "klassischen" Attribute für ein einsames Photon von Bedeutung sind.

Insbesondere kann ein Photon eine Quantenüberlagerung von Eigenzuständen sein, also:

Ein Photon kann über einen Bereich von Frequenzen und Wellenlängen verteilt sein (dh es kann sich in einer Überlagerung von Energieeigenzuständen befinden), mit möglicherweise unterschiedlicher Polarisation für alle Komponenten der Überlagerung.

Man kann dieses Konzept sogar auf die Ausbreitung durch dielektrische Medien erweitern: Das Licht wird zu einer Quantenüberlagerung von freien Photonen und angeregten Materiezuständen, und das einsame, erste quantisierte Quasiteilchen, das aus dieser Überlagerung resultiert (streng genommen eher ein "Polariton" als ein echtes, fundamental, Photon) hat einen Quantenzustand, der sich nach den für das Medium gelösten Maxwell-Gleichungen entwickelt. So sprechen wir beispielsweise von einsamen Photonen, die sich in den gebundenen Moden optischer Fasern ausbreiten.

Eine weitere Sicht auf den Ein-Photonen-Zustand wird im ersten Kapitel von Scully und Zubairy „Quantum Optics“ gegeben . Der Ein-Photonen-Zustand$\psi$kann durch die aus den zweiten quantisierten elektrischen und magnetischen Feldobservablen abgeleitete Ensemblestatistik definiert werden:

$$\vec{E} = \left(\begin{array}{c}\left<0 | \hat{E}_x | \psi\right>\\\left<0 | \hat{E}_y | \psi\right>\\\left<0 | \hat{E}_z | \psi\right>\end{array}\right);\quad\quad \vec{B} = \left(\begin{array}{c}\left<0 | \hat{B}_x | \psi\right>\\\left<0 | \hat{B}_y | \psi\right>\\\left<0 | \hat{B}_z | \psi\right>\end{array}\right)$$

wo$\hat{E}_j$ist der$j^{th}$Komponente des vektorbewerteten elektrischen Feldes beobachtbar und$\hat{B}_j$die der Observablen der magnetischen Induktion. ($[\hat{E}_j, \hat{B}_j]=0$zum$j\neq k$und in den richtigen Einheiten$[\hat{E}_j, \hat{B}_j]=i\,\hbar\,I$). Für einen Ein-Photonen-Zustand$\psi$, diese Statistiken:

1. Propagieren Sie genau nach den Maxwell-Gleichungen;
2. Definieren Sie den Quantenzustand des Lichtfelds eindeutig für einen Ein-Photonen-Zustand, obwohl sie nicht der Zustand sind. Auf die gleiche Weise definiert der Mittelwert der klassischen Poisson-Wahrscheinlichkeitsverteilung die Verteilung eindeutig (obwohl es sich um eine einzelne Zahl und nicht um eine Verteilung handelt).

Die Dinge sind viel komplizierter für allgemeine,$N$Photonenzustände, daher benötigen wir viel mehr Informationen als einfache Mittel, um den Quantenzustand vollständig zu definieren, insbesondere bei verschränkten Zuständen. Um auf unsere klassische Analogie der Wahrscheinlichkeitsverteilung zurückzukommen, benötigt die Normalverteilung zwei unabhängige Parameter, Mittelwert und Varianz, um sie vollständig zu spezifizieren, also ist sie komplizierter als die Poisson-Verteilung, die nur durch ihren Mittelwert definiert ist (der gleich der Varianz ist). .Quantenfelder sind also viel kompliziertere Dinge als klassische. Aber eine stimmigeDer Zustand jedes Photons ist wiederum eindeutig durch die Mittelwerte der Feldobservablen definiert, was wiederum bedeutet, dass er sich nach den gleichen Maxwell-Gleichungen ausbreitet wie die Ein-Photon-Mittel: daher die Eins-zu-Eins-Entsprechung zwischen klassischen und Ein-Photonen-Zuständen Ich sprach von – ich nenne das gerne das Ein-Photonen-Korrespondenz-Prinzip („OpCoP“). Warum sich unsere makroskopischen EM-Felder wie kohärente Quantenzustände zu verhalten scheinen und nicht wie viel allgemeinere, verschränkte (es sei denn, man unternimmt beträchtlichen experimentellen Aufwand, um Verschränkung zu beobachten), ist noch eine offene Frage. Es ist jedoch interessant festzustellen, dass die Klasse der kohärenten Zustände die einzige Klasse der quantenharmonischen Oszillatorzustände ist, die die untere Grenze der Heisenbergschen Unsicherheitsungleichung erreichen.

Siehe auch meine Antworten auf:

1. Wenn Photonen 1 Spineinheit tragen, warum scheint sichtbares Licht keinen Drehimpuls zu haben? und
2. Elektromagnetische Strahlung und Quanten .

Übrigens, obwohl allgemeine, verschränkte Lichtzustände enorm komplizierter sind als Ein-Photonen- (und äquivalent durch das OpCoP, klassische) Lichtzustände, können wir sie im Prinzip immer noch in eine Quantenüberlagerung von Tensorprodukten kohärenter Zustände zerlegen und so darstellen ein allgemeiner Zustand durch eine Reihe von im Feld beobachtbaren Mitteln. Dies war einer der Beiträge des Nobelpreisträgers von 2005, Roy Glauber, der das Obige 1963 zeigte in:

R. Glauber, „Kohärente und inkohärente Zustände des Strahlungsfeldes“, Phys. Rev. 131, 2766–2788 (1963)

Die kohärenten Zustandstensorprodukte sind jedoch über vollständig, so dass die Zerlegung eines allgemeinen Quantenzustands in kohärente Zustände höchstwahrscheinlich nicht eindeutig ist. Nichtsdestotrotz erlaubt eine solche Zerlegung, klassisch-ähnliche Techniken auf verschränkte Quantenzustände anzuwenden (im Prinzip - in der Praxis ist es immer noch kompliziert!).

Wenn Sie Iwo Bialynicki-Birula und seine Arbeit über die Photonenwellenfunktion googeln, hat er noch viel mehr über die Einphotonenwellenfunktion zu sagen. Er definiert die Photonenwellenfunktion als positiven Frequenzanteil links- und rechtszirkular polarisierter Eigenfunktionen$\vec{F}_\pm = \sqrt{\epsilon} \vec{E} \pm i \sqrt{\mu} \vec{H}$. Die persönliche Website von Iwo Bialynicki-Birula ist http://cft.edu.pl/~birula , und alle seine Veröffentlichungen können von dort heruntergeladen werden.$|\vec{F}_+|^2 + |\vec{F}_-|^2$ist die elektromagnetische Energiedichte. Er definiert das Paar$(\vec{F}_+, \vec{F}_-)$, damit normalisiert$|\vec{F}_+|^2 + |\vec{F}_-|^2$wird zu einer Wahrscheinlichkeitsdichte, das Photon an einem bestimmten Punkt zu absorbieren, um eine erste quantisierte Photonenwellenfunktion (ohne beobachtbare Position) zu sein. Es gibt ein spezielles, nichtlokales inneres Produkt, um den Hilbert-Raum zu definieren, und in einem solchen Formalismus ist die allgemeine Hamiltonsche Observable$\hbar\, c\, \mathrm{diag}\left(\nabla\wedge, -\nabla\wedge\right)$. Siehe auch Arnold Neumaiers prägnante Zusammenfassung ( hier ) eines Schlüsselergebnisses in Abschnitt 7 von Bialynicki-Birulas "Photon wave function" in Progress in Optics 36 V (1996), S. 245-294, auch herunterladbar von arXiv:quant-ph/ 0508202 . Auf den Hilbert-Raum der Riemann-Silberstein-Vektorpaare, den Bialynicki-Birula definiert, wirkt eine irreduzible einheitliche Darstellung ein, die durch die Observablen von Bialynicki-Birula definiert ist$\hat{H}$,$\hat{\mathbf{P}}$,$\hat{\mathbf{K}}$und$\hat{\mathbf{J}}$, der gesamten Poincaré-Gruppe, die in dem Papier vorgestellt wird.

Wenn Polarisation als Muster/Richtung des elektrischen Feldes in einer elektromagnetischen Welle und die Frequenz als Schwingungsfrequenz interpretiert wird, wie können wir Polarisation und Frequenz interpretieren, wenn wir es mit einem einzelnen Photon zu tun haben?

Die klassische Welle besteht aus einem großen Ensemble von Photonen. Sowohl die Photonen/Teilchen-Gleichungen als auch die Maxwell-Gleichungen enthalten den Zustand des elektrischen Feldes in ihren Lösungen. Es handelt sich also nicht um eine Interpretation, sondern darum zu zeigen, wie man aus einzelnen einzelnen Photonen, die mathematisch durch die Gleichung der zweiten Quantisierung als solche beschrieben werden, für ein Ensemble von Photonen die elektromagnetische Welle ableiten kann.

Das ist nicht einfach, aber es wurde getan. Eine Demonstration finden Sie im Artikel in diesem Blog .

Handwinkende Antwort: Die die Photonen beschreibenden Funktionen müssen kohärent (in Phase) sein, dann bauen die Konstanten in ihrer mathematischen Beschreibung, die sich auf das elektrische und magnetische Feld beziehen, "wundersam" ein klassisches elektromagnetisches Feld auf, das die darin enthaltene Frequenz trägt in der Teilchenbeschreibung in E=h*nu.

Nun, die Energie des Photons ist einfach hf . Wenn Sie also die Energie eines einzelnen Photons bestimmen können, können Sie seine Frequenz bestimmen. Eine Möglichkeit, die Energie eines Photons zu bestimmen; Angenommen, Sie können jeweils ein Photon mit der gleichen Energie erzeugen, würde dies den photoelektrischen Effekt mit Photokathodenmaterialien mit einstellbarer Bandlücke in einem PMT nutzen, das einzelne Photonen erkennen kann. Photokathoden mit variabler Bandlücke können über begrenzte Bereiche aus ternären oder quaternären III-V-Verbindungen wie GaAsP oder InGaAsP hergestellt werden. Kathoden mit kleinerem Bandabstand emittieren ein Photoelektron; diejenigen mit höherer Bandlücke nicht.

Jetzt haben Sie nicht gesagt, dass Sie einen praktischen Weg dafür wissen wollten, aber wenn Sie einzelne Photonen mit bekannter Frequenz und Polarisation benötigen, sollte die Herstellung der PMTs kein Problem für Sie sein.