EM-Wellenfunktion und Photonenwellenfunktion

Wie Iwo Bialynicki-Birula in dem zitierten Artikel erklärt, sind die Maxwell-Gleichungen relativistische Gleichungen für ein einzelnes Photon, völlig analog zu den Dirac-Gleichungen für ein einzelnes Elektron. Indem man sich auf die positiven Energielösungen beschränkt, erhält man in beiden Fällen eine irreduzible einheitliche Darstellung der vollständigen Poincaré-Gruppe und damit des Modenraums eines Photons oder Elektrons in der Quantenelektrodynamik.

Klassische Felder sind Erwartungswerte von Quantenfeldern; aber die klassisch relevanten Zustände sind die kohärenten Zustände. Tatsächlich kann man für ein Photon jeder Mode einen kohärenten Zustand zuordnen, und in diesem Zustand führt der Erwartungswert des e/m-Feldes zu dem Wert des Feldes, der durch die Mode gegeben ist.

Weitere Einzelheiten finden Sie in meinen Vorlesungen
http://arnold-neumaier.at/ms/lightslides.pdf
http://arnold-neumaier.at/ms/optslides.pdf
und im Kapitel B2: Photonen und Elektronen meiner Theoretischen Physik FAQ .

Die Erwartungswerte

$$\langle p | \vec E(\vec x) | p\rangle$$ und ähnlich für $\vec B(\vec x)$verschwinden aus einem einfachen Grund: dem Staat $|p\rangle$ist definitionsgemäß translationssymmetrisch (die Translation ändert nur die Phase des Zustands, die Gesamtnormalisierung), also müssen die Erwartungswerte jedes Feldes in diesem Zustand auch translationssymmetrisch sein (die Phase hebt sich zwischen dem Ket und dem Bra auf).

Wer also erwartet, in solchen Impuls-Eigenzuständen klassische Wellen in Erwartungswerten zu sehen, wird wenig überraschend enttäuscht. Übrigens gilt dasselbe für jedes andere Feld, einschließlich des Dirac-Felds (im Gegensatz zur Behauptung des OP). Wenn Sie den Erwartungswert des Dirac-Felds berechnen$\Psi(\vec x)$in einem Ein-Teilchen-Impuls-Eigenzustand mit einem Elektron verschwindet dieser Erwartungswert ebenfalls. In diesem Dirac-Fall ist dies viel einfacher zu beweisen, weil die Erwartungswerte aller fermionischen Operatoren (zur ersten oder anderen ungeraden Potenz) wegen der Grassmann-Gradierung verschwinden.

Das Verschwinden der Erwartungswerte von Feldern (solche, die beide Vorzeichen haben können, nämlich die linearen Funktionen der "grundlegenden" Felder, die mit dem gegebenen Teilchen verbunden sind) würde für alle Impuls-Eigenzustände gelten, sogar für Mehrteilchen-Zustände, die einfach deshalb Impuls-Eigenzustände sind Das obige Argument gilt universell. Sie denken vielleicht, dass dieses Verschwinden darauf zurückzuführen ist, dass der Ein-Teilchen-Impuls-Eigenzustand eine Mischung aus infinitesimalen elektromagnetischen Wellen ist, die in jeder „Phase“ sein dürfen und sich diese Phasen daher aufheben.

Die formale Beziehung zwischen den klassischen Feldern und den Ein-Teilchen-Zuständen gilt jedoch immer noch, wenn man vorsichtiger ist. Insbesondere kann man "kohärente Zustände" konstruieren, bei denen es sich um Mehrteilchenzustände mit einer unbestimmten Anzahl von Teilchen handelt, die die engste Annäherung an eine klassische Konfiguration sind. Sie können sich kohärente Zustände als die Grundzustände eines harmonischen Oszillators vorstellen (und ein Quantenfeld ist ein unendlichdimensionaler harmonischer Oszillator), die in Ortsrichtungen und/oder Impulsrichtungen verschoben sind, dh Zustände

$$|a\rangle = C_\alpha \cdot \exp(\alpha\cdot a^\dagger) |0\rangle$$ Dieser Ausdruck kann Taylor-erweitert werden, um die Komponenten mit individuellen Anzahlen von Anregungen zu sehen, $N=0,1,2,3,\dots$Das $C_\alpha$Koeffizient ist nur ein Normalisierungsfaktor, der die Physik eines einzelnen kohärenten Zustands nicht beeinflusst.

Mit einer guten Auswahl an$\alpha$für jeden Wert des klassischen Feldes (es gibt viele unabhängige$a^\dagger(k,\lambda)$Operatoren für ein Quantenfeld und jeder von ihnen hat seine$\alpha(k,\lambda)$), kann ein solcher kohärenter Zustand für jede klassische Konfiguration konstruiert werden. Die Erwartungswerte der klassischen Felder$\vec B,\vec E$in diesen kohärenten Zuständen wird das sein, was Sie wollen.

Mit dem Toolkit für kohärente Zustände erhalten Sie jetzt möglicherweise ein detaillierteres Verständnis dafür, warum die Impuls-Eigenzustände, die auch Eigenzustände der Anzahl der Teilchen sind, verschwindende Eigenwerte haben. Der kohärente Zustand ist so etwas wie die Wellenfunktion

$$\exp(-(x-x_S)^2/2)$$ zu dem die Gaußsche verschoben ist $x_S$Also $x_S$ist der Erwartungswert von $x$drin. Ein derartiger kohärenter Zustand kann durch einen Exponentialoperator erreicht werden, der auf das Vakuum einwirkt. Der Anfangsterm in der Taylor-Entwicklung ist das Vakuum selbst; der nächste Term ist ein Ein-Teilchen-Zustand, der die Struktur des kohärenten Zustands kennt – weil die restlichen Terme in den Taylor-Entwicklungen nur aus demselben linearen Stück stammen, das viele Male wirkt, erinnern Sie sich an die $Y^k/k!$Form der Terme in der Taylorentwicklung von $\exp(Y)$: hier, $Y$ist das einzige, was Sie wissen müssen.

Auf der anderen Seite ist der Erwartungswert von$x$im Ein-Teilchen-Zustand ist natürlich Null. Das liegt daran, dass die Wellenfunktion eines Ein-Teilchen-Zustands eine ungerade Funktion ist, wie z

$$x\cdot \exp(-x^2/2)$$ deren Wahrscheinlichkeitsdichte symmetrisch (gerade) ist in $x$so dass der Erwartungswert natürlich null sein muss. Wenn Sie sich die Struktur des kohärenten Zustands ansehen und sich vorstellen, dass die $\alpha$Koeffizienten sehr klein sind, so dass Mehrteilchenzustände der Einfachheit halber vernachlässigt werden können, werden Sie feststellen, dass der Erwartungswert ungleich Null von $x$im verschobenen Zustand (dem kohärenten Zustand) läuft auf eine gewisse Interferenz zwischen dem Vakuumzustand und dem Ein-Teilchen-Zustand hinaus; es ist keine Eigenschaft des Ein-Teilchen-Zustandes selbst! Allgemeiner belegen die von Null verschiedenen Erwartungswerte von Feldern an bestimmten Punkten der Raumzeit eine gewisse Interferenz zwischen Komponenten des Zustands, die unterschiedliche Anzahlen von Teilchenanregungen in sich haben.

Die letztere Aussage sollte aus einem anderen Blickwinkel nicht überraschen. Wenn Sie so etwas wie das Matrixelement betrachten

$$\langle n | a^\dagger | m \rangle$$ Wo die Bra- und Ket-Vektoren Eigenzustände eines harmonischen Oszillators mit einer gewissen Anzahl von Anregungen sind, ist es klar, dass es nur dann ungleich Null ist $m=n\pm 1$. Im Speziellen, $m$und $n$können nicht gleich sein. Betrachtet man die Erwartungswerte von $a^\dagger$in einem Teilchenzahl-Eigenzustand $|n\rangle$, es ist offensichtlich, dass der Erwartungswert verschwindet, weil $a$und $a^\dagger$, und sie sind nur eine andere Art, lineare Kombinationen von zu schreiben $\vec B(\vec x)$oder $\vec E(\vec x)$, sind Operatoren, die die Anzahl der Teilchenanregungen um eins oder minus eins ändern (dasselbe gilt für alle anderen Felder einschließlich der Dirac-Felder).

Wenn Sie also ein klassisches Feld oder eine klassische Welle mit von Null verschiedenen Erwartungswerten der Felder nachahmen wollen, müssen Sie natürlich Überlagerungen von Zuständen mit unterschiedlicher Anzahl von Teilchenanregungen berücksichtigen! Aber es stimmt trotzdem, dass all diese Erwartungswerte bereits in den Ein-Teilchen-Zuständen kodiert sind. Lassen Sie es mich zusammenfassen: die richtigen Zustände, die die klassischen Konfigurationen nachahmen, sind$\exp(Y)|0\rangle$wo$Y$ist eine lineare Kombination von Erzeugungsoperatoren (Sie können die Vernichtungsoperatoren hinzufügen, aber sie werden keinen Unterschied machen, außer der Gesamtnormalisierung, weil Vernichtungsoperatoren das Vakuum vernichten). Solche Zustände mit kohärenten Exponentialformen haben Vevs ungleich Null in jeder klassisch erlaubten Form, die Sie vielleicht wollen. Im selben Moment kann die Exponentialfunktion nach Taylor erweitert werden$(1+Y+\dots)$und der lineare Term$Y$erzeugt einen Ein-Teilchen-Zustand, der der ultimative „Baustein“ der klassischen Konfiguration ist. Aber wenn Sie tatsächlich die vevs der Felder berechnen wollen, können Sie den Term nicht weglassen$1$oder andere, entweder: Sie müssen die Beiträge der Matrixelemente zwischen Zuständen mit unterschiedlichen Anzahlen der Teilchenanregungen einbeziehen.