Über die Existenz von Dynamik in der QED

Dies ist ein Versuch, separat nach Aspekten meiner vorherigen Frage zu fragen , die als zu allgemein geschlossen wurde. Beachten Sie, dass ich Ergebnisse, die mathematisch absolut streng sind oder gemacht werden können, stark bevorzuge. Der erste Teil der verknüpften Frage, der sich mit der Divergenz von Störungsreihen befasst, wurde hier diskutiert .

Kürzlich bin ich auf eine japanische Arbeit aus dem Jahr 2014 gestoßen, die online im Journal of Mathematical Physics veröffentlicht wurde:

Shinichiro Futakuchi und Kouta Usui, "Konstruktion von Dynamik und zeitgeordneter Exponentialfunktion für unbegrenzte nichtsymmetrische Hamiltonianer", Journal of Mathematical Physics 55, 062303 (2014); doi: http://dx.doi.org/10.1063/1.4878737 oder arxiv.org/abs/1309.5194v1

Dieses Papier ist ziemlich lang und sehr technisch; insbesondere verstehe ich das meiste nicht. Außerdem scheint es von niemand anderem als den Autoren selbst zitiert worden zu sein.

Der Inhalt der Arbeit ist die mathematisch strenge Konstruktion der Dyson-Reihe für nicht-normale unbeschränkte "Hamiltonianer" und die Anwendung auf die Quantenelektrodynamik. Es ist allgemein bekannt, dass die Interaktionstheorie selbst nach Regularisierungs- oder Renormierungsvorgängen derzeit keine mathematisch strenge Beschreibung einschließlich Observablen und Zuständen hat. Mir scheint, dass dieses Papier dies erreicht! (obwohl es sicherlich viel zu gut klingt, um wahr zu sein, und ich es nicht ernsthaft glaube.)

Lassen Sie mich versuchen zusammenzufassen, was meiner Meinung nach die wichtigsten Punkte bei der Anwendung ihrer Theorie auf QED sind (letztes Drittel der Arbeit): Die freien, nicht-wechselwirkenden Theorien sowohl des Photonenfeldes (in Lorentz-Eichung) als auch des Dirac-Spinorfeldes für das Elektron-Positron-Feld werden zunächst auf ihren Fock-Räumen definiert. Die Autoren liefern zweite quantisierte Hamiltonoperatoren für beide Felder, die unbeschränkte selbstadjungierte Operatoren sind und deren Spektrum von unten begrenzt ist (sie nehmen einfach die positive Wurzel in der Dispersionsrelation für das Spinorfeld). Dann definieren sie auf Seite 24 den Wechselwirkungs-Hamiltonoperator:

$$H_{\text{int}}\Psi:=e \int_{\mathbb{R}^3}d^3x \ \chi(\mathbf{x})j^{\mu}(\mathbf{x})\otimes A_{\mu}(\mathbf{x})\Psi$$ im Sinne eines starken Bochner-Integrals, wobei $\chi\in L^1(\mathbb{R}^3)$implementiert eine räumliche Abschaltung. Der Feldoperator $A_{\mu}$ist der übliche Ausdruck aus der freien Theorie und der Strom wird in üblicher Weise aus dem Dirac-Spinor-Feld gebildet. Der Definitionsbereich für $H_{\text{int}}$ist im Papier angegeben. Diese Interaktion erweist sich als eng begrenzt, aber nicht normal. Der Gesamt-Hamilton-Operator wird erhalten, indem diese Wechselwirkung zu den freien Hamilton-Operatoren addiert wird, was insgesamt einen Hamilton-Operator ergibt, der auf dem Tensorprodukt der beiden Fock-Räume definiert ist.

Das heißt, die Wechselwirkung ist durch minimale Kopplung gegeben, was genau das ist, was normalerweise niedergeschrieben wird und worauf die Störungstheorie angewendet wird. Die auf diese (oder ähnliche) Weise renormierte Störungstheorie hat endliche Terme in der Reihe, wir erwarten jedoch, dass die Reihe selbst nicht konvergiert (Dysons Argument). In der Arbeit wird nachgewiesen, dass die Interaktion Hamiltonian sowie der totale Hamiltonian (der nicht selbstadjungiert ist) sind$\eta$-self adjoint, was mir wie eine mathematisch strenge Implementierung der Gubta-Bleuler-Methode erscheint, obwohl ich die Details dort sicherlich nicht verstehe.

Das Endergebnis ist die Konstruktion dessen, was sie die „Zeitentwicklung“ nennen, was eine wohldefinierte Isometrie ist, die auf einer Teilmenge des gesamten Hilbert-Raums definiert ist. Sie wird durch die Dyson-Reihe angegeben, von der behauptet wird, dass sie für geeignete Zustände konvergiert. Mir wurde mehrfach gesagt, dass dies nicht möglich ist, angeblich gibt es sogar Ergebnisse, die darauf hindeuten, dass dies im Prinzip unmöglich ist. Was fehlt mir in diesem Papier?

Eine andere Sache, die mich etwas verwirrt, ist, dass die Autoren absolut keinen Kommentar zur Anwendung ihrer Ergebnisse abgeben. Zum Beispiel, ob ihre zeitliche Entwicklung verwendet werden kann, um (ungefähr) dieselben Amplituden zu berechnen, wie sie durch die Störungstheorie erhalten werden. Ich bin in der Tat jedem sehr dankbar, der kurz darüber hinwegsieht und mir sagt, welches möglicherweise triviale Detail ich übersehe, das die Diskussion für die Physik irrelevant machen würde, was der Fall sein müsste, nach der fehlenden Aufmerksamkeit zu urteilen Papier erhalten.