Auswertung der QED-Amplitude mit 1 externen Photon

Ich habe die Antwort selbst herausgefunden, also dachte ich, ich würde sie hier posten, falls es jemanden interessiert. Ich werde jeden der Ansätze der Reihe nach behandeln.

Ansatz 1

Was ich oben geschrieben habe, ist offensichtlich falsch. Wir können das korrekte Ergebnis unter Verwendung der Definition von ableiten$S$-Matrix, und ihre Beziehung zu freien Theorieamplituden. Dies wird durch gegeben

$$\langle\Omega|S|q\rangle_\Omega = \left(\langle 0|T \exp\left\{-i\int d^4 x \mathcal{H}_I\right\}|q\rangle_0\right)_{\textrm{connected, amputated}}$$

Wo$\mathcal{H}_I$ist die Hamiltonsche Dichte im Wechselwirkungsbild (dh betrifft nur die Heisenberg-Felder der freien Theorien).

Jetzt können wir die Terme dafür mit Wicks Theorem aufschreiben und (wie üblich) beobachten, dass nur vollständig kontrahierte Terme zählen. Die ersten nichttrivialen Terme sind schematisch

$$\int \langle0|T-ie\bar{\psi}\gamma^\mu\psi A^\mu|q\rangle + \int\int\int\langle0|(-ie)^3 \langle0|T\bar{\psi}\gamma^\mu\psi A^\mu\bar{\psi}\gamma^\mu\psi A^\mu\bar{\psi}\gamma^\mu\psi A^\mu|q\rangle + \dots$$

wobei die Integrale über der Raumzeit liegen. Jetzt die Kontraktion von$A^\mu$mit$q$gibt ein$e^{-iq.x}\epsilon^\mu$. Wenn Sie den Polarisationsvektor ignorieren und überprüfen, ob die Faktoren korrekt funktionieren, überprüfen Sie das Ergebnis in P&S.

Beachten Sie, dass das amputierte Rezept kein Problem darstellt, da dies nur für die externe Photonenlinie gilt, die wir ignorieren.

Ansatz 2

Die LSZ-Formel, wie ich sie oben geschrieben habe, war weitgehend korrekt. Um ehrlich zu sein, habe ich festgestellt, dass die Formel selbst nicht gut zu merken ist. Vielmehr sollte man beachten, dass die$S$-Matrixelement kann berechnet werden durch

• Fourier-Transformation der relevanten Korrelationsfunktion
• Berechnung des Restes des Mehrteilchenpols
• Dividieren durch die entsprechenden Feldstärke-Renormalisierungsfaktoren

Die relevante Korrelationsfunktion in diesem Fall ist$\langle\Omega|TA^\mu|\Omega\rangle$wie ich oben geschrieben habe. Wir möchten dies auf die Korrelationsfunktion beziehen$\langle \Omega|Tj^\mu|\Omega\rangle$. Die Schlüsselidee (wie von Lubos hervorgehoben) besteht darin, die klassische Bewegungsgleichung zu verwenden, die eine Form hat

$$\Box A^\mu = -j^\mu$$

Wo$\Box$ist ein Differentialoperator, dessen Umkehrung durch den Feynman-Propagator für Photonen (unter einem Integral) gegeben ist. Die Quantenverallgemeinerung davon ist die Schwinger-Dyson-Gleichung

$$\Box\langle\Omega|TA^\mu|\Omega\rangle + \langle\Omega|Tj^\mu|\Omega\rangle = \textrm{ contact terms }$$

was im Pfad-Integral-Formalismus einfach herzuleiten ist. Die Kontaktdaten tragen nicht dazu bei$S$-Matrix, weil sie die falsche Singularitätsstruktur haben. Also invertiert$\Box$wir finden bis zu kontaktbedingungen

$$\langle \Omega | TA^\mu(x) |\Omega\rangle = \int d^4y D_F^{\mu\nu}(x-y)\langle\Omega|Tj_\nu(y)|\Omega\rangle$$

woher die Fourier-Transformation kommt

$$\int d^4x e^{-iq.x}\langle\Omega|TA^\mu|\Omega\rangle = \int d^4y e^{-iq.y}\frac{(-i)}{q^2}\langle\Omega|Tj^\mu|\Omega\rangle$$

durch Bewirken der Fourier-Transformation der Green-Funktion. Nehmen wir nun den Rest, wenn das Photon "on-shell" geht, und ignorieren wir die Polarisation und die Renormierung der Feldstärke, erhalten wir das Ergebnis von P&S wieder.