Spin – woher kommt er?

Grundsätzlich entsteht der Spin dadurch, dass wir wollen, dass sich unsere Quantenfelder unter Lorentz-Transformationen brav transformieren.

Mathematisch kann man mit der Konstruktion der Darstellungen der Lorentz-Gruppe wie folgt beginnen: Die Generatoren$M^{\mu \nu}$kann in Form von Rotationsgeneratoren ausgedrückt werden$J^{i}$und die von Boosts$K^{i}$. Sie erfüllen

$$[J^{i}, J^{j}] = i \epsilon_{ijk} J^k, \, [K^i, K^j] = -i \epsilon_{ijk} J^k,\, [J^i, K^j] = i \epsilon_{ijk} K^k.$$ Aus ihnen kann man die Operatoren konstruieren $M^i = \frac{1}{\sqrt{2}} (J^i + i K^i)$und $N^i = \frac{1}{\sqrt{2}} (J^i - i K^i)$. Sie erfüllen $$[M^i, N^j] = 0,\, [M^i, M^j] = i \epsilon_{ijk} M^k \, [N^i, N^j] = i \epsilon_{ijk} N^k$$ Das sind nur die Zusammenhänge für den Drehimpuls, die Sie aus Ihrem QM-Einführungskurs kennen sollten. Gruppentheoretisch bedeutet dies, dass jede Darstellung der Lorentzgruppe durch zwei ganzzahlige oder halbzahlige Zahlen charakterisiert werden kann $(m, n)$. Wenn Sie die Transformationen explizit konstruieren, werden Sie feststellen

• $(m = 0, n = 0)$ist ein Skalar, ändert sich also nicht unter LT.
• $(m = 1/2, n = 0)$ist ein linkshändiger Weyl-Spinor
• $(m = 0, n = 1/2)$ist ein rechtshändiger Weyl-Spinor
• $(m = 1/2, n = 1/2)$ist ein Vektor

Ein Dirac-Spinor ist eine Kombination aus einem rechts- und einem linkshändigen Weyl-Spinor.

Tatsächlich kann man nun diese Objekte verwenden und versuchen, Lorentz-invariante Terme zu finden, um eine Lagrange-Funktion zu konstruieren. Aus dieser Konstruktion (die für diesen Beitrag zu langwierig ist) findet man, dass die Dirac-Gleichung die einzige vernünftige Bewegungsgleichung für einen Dirac-Spinor ist, einfach aus den Eigenschaften der Lorentz-Gruppe! Ähnlich findet man die Klein-Gordon-Gleichung für Skalare und so weiter. (Man kann sogar Objekte mit höherem Spin als Vektoren konstruieren, aber diese haben keine physikalische Anwendung, außer vielleicht in Supergravitationstheorien).

Wie Sie jetzt sehen können, ist der Spin im Grunde eine Eigenschaft der Lorentz-Gruppe. Es ist nur natürlich, dass wir in unserer Lorentz-invarianten Welt Teilchen mit Spin ungleich Null finden.

Nebenbemerkung: Da wir die Dirac- und Klein-Gordon-Gleichungen allein aus der Lorentz-Invarianz gefunden haben und ihre Niedrigenergiegrenze die Schrödinger-Gleichung ist, erhalten wir auch eine 'Ableitung' der Schrödinger-Gleichung. Meistens wird das SE einfach postuliert und damit gearbeitet: Das kommt daher!

Der Spin ist der Eigendrehimpuls eines Objekts, üblicherweise eines Teilchens, gemessen in seinem Ruhesystem. Große Objekte können sich um ihre Achse drehen. Auch kleinere Objekte können sich um eine Achse drehen. Die Quantenmechanik impliziert, dass es nichts gibt, was ansonsten punktförmige Teilchen daran hindern würde, sich auch um eine Achse zu drehen.

In der Quantenmechanik ist der Drehimpuls um eine Achse ein Vielfaches von$\hbar/2$; Dies kann aus der Eindeutigkeit der Wellenfunktion unter 720-Grad-Drehungen gezeigt werden (360-Grad-Drehungen dürfen die Wellenfunktion auf bescheidene Weise ändern, nämlich ihr Vorzeichen umkehren).

Die genaue Menge an Spin eines gegebenen Teilchens kann durch eine tiefergehende Theorie oder ein Experiment bestimmt werden. Es ist einfach eine Tatsache, dass das Elektron – oder jedes andere Lepton, einschließlich Neutrinos oder Quark – den Spin von hat$J=\hbar/2$, der kleinste zulässige Wert ungleich Null.

Andere Elementarteilchen haben andere Spins. Das Higgs-Boson hat$J=0$, die Photonen, Gluonen und W/Z-Bosonen haben$J=1\hbar$während das Graviton hat$J=2\hbar$.

Es gibt keine direkte Beziehung zwischen dem Spin und der elektrischen Ladung. Beispielsweise haben Neutrinos und Z-Bosonen eine verschwindende elektrische Ladung, aber einen Spin ungleich Null; Die von den W-Bosonen gefressenen Goldstone-Bosonen haben einen verschwindenden Spin, aber eine Ladung ungleich Null.

Es gibt nichts wie "einen Weg, wie Experiment in einer Theorie aussieht". Experimente sind unabhängig von Theorien; sie sind immer gleich; Sie werden durchgeführt, um die Gültigkeit von Theorien zu testen. Einige Theorien bestehen, andere scheitern, weil sie mit den Ergebnissen der Experimente nicht übereinstimmen. Für bestimmte (langsame usw.) Experimente ist es in Ordnung, eine primitivere Theorie wie die nicht-relativistische Quantenmechanik zu verwenden; für allgemeinere Anordnungen benötigt man eine vollständigere Theorie (Quantenfeldtheorie), da die einfacheren Theorien unzureichende Vorhersagen liefern würden. Jede Theorie muss die Menge der Experimente definieren, für die sie funktionieren soll, und wenn sie mit einem Experiment in dieser Menge nicht übereinstimmt, muss sie aufgegeben werden.