Hamiltons charakteristische und Hauptfunktionen und Trennbarkeit

Question

Hamiltons charakteristische und Hauptfunktionen und Trennbarkeit

AngusTheMan

Ich hoffe nur auf etwas Klarheit in Bezug auf Hamiltons charakteristische Funktion $W$ . Wenn wir einen zeitunabhängigen Hamiltonoperator nehmen, können wir die Hauptfunktion trennen $S$ bis in die charakteristische Funktion minus $ht$ , ja, ich weiß, es ist die Legendre-Transformation, aber,

W = S + H T

$\begin{equation} W=S+ht \end{equation}$

Meirovitch in seinen Methods of Analytical Dynamics S. 356 gibt $h$ als die Jacobi-Energiefunktion $h$ wie in früheren Kapiteln sowohl in seinen als auch in Goldsteins Texten definiert.

Dies ist das einzige Mal, dass ich gesehen habe, dass es aufgerufen wurde $h$ eher als der Hamiltonian. Ich habe mich nur gefragt, ob jemand es gelesen und vielleicht etwas anderes in Meirovitchs Definition bemerkt hat, das mir entgeht. Die meisten Autoren definieren diese Integrationskonstanten stattdessen als Hamilton-Operator. Ich weiß, der Unterschied ist subtil, aber es ist faszinierend, warum er sich entschieden hat $h$ nicht $H$ ! Liegt es nur daran, wie Sie die konjugierten Impulse ausdrücken?

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Hamiltons charakteristische und Hauptfunktionen und Trennbarkeit

QMechaniker · Answer 1

I) Hamiltonsche charakteristische Funktion $W(q,\alpha)$ ist in der Regel nur für Systeme ohne explizite Zeitabhängigkeit definiert, vgl. Ref. 1 und 2. Das bedeutet, dass der Hamiltonoperator $H(q,p)$ ist eine Bewegungskonstante. Die Bewegungskonstante ist normalerweise die Energie des Systems und wird oft mit dem Buchstaben bezeichnet $E$ . Ref. 1 verwendet stattdessen das Symbol $\alpha_1$ , während Ref. 2 verwendet den Buchstaben $h$ .

II) Für Systeme ohne explizite Zeitabhängigkeit lautet die Hamilton-Jacobi (HJ)-Gleichung

\begin{matrix} (1) & \begin{aligned} - \frac{\partial S (Q, a, T)}{\partial T} \overset{HJ-Gl.}{=} & H (Q, \frac{\partial S (Q, a, T)}{\partial Q}) \\ = & a_{1} . \end{aligned} \end{matrix}

$\begin{align} -\frac{\partial S(q,\alpha,t)}{\partial t} ~\stackrel{\text{HJ-eq.}}{=}&~ H\left(q,\frac{\partial S(q,\alpha,t)}{\partial q}\right)\cr~=~& \alpha_1.\end{align}\tag{1}$

Man kann daher Hamiltons charakteristische Funktion betrachten $W(q,\alpha)$ als ein $\alpha_1 \leftrightarrow t$ Legendre-Transformation der Hauptfunktion von Hamilton $S(q,\alpha,t)$

\begin{matrix} (2) & \begin{aligned} W (Q, a) = & S (Q, a, T) + a_{1} T \\ \overset{(1)}{=} & S (Q, a, T) - T \frac{\partial S (Q, a, T)}{\partial T} . \end{aligned} \end{matrix}

$\begin{align} W(q,\alpha)~=~&S(q,\alpha,t)+\alpha_1 t\cr ~\stackrel{(1)}{=}~& S(q,\alpha,t) - t\frac{\partial S(q,\alpha,t)}{\partial t}.\end{align} \tag{2}$

III) Das Obige ist eine On-Shell-Formulierung. Es gibt eine ähnliche Geschichte Off-Shell. (Die Wörter On-Shell und Off-Shell beziehen sich darauf, ob die EOMs erfüllt sind oder nicht.) Nehmen wir zur Sicherheit Dirichlet-Randbedingungen an

\begin{matrix} (3) & Q (T_{ich}) = Q_{ich} Und Q (T_{F}) = Q_{F} Fest . \end{matrix}

$q(t_i)~=~q_i \quad\text{and}\quad q(t_f)~=~q_f \quad\text{fixed}.\tag{3}$

Obwohl OP sich dessen vollkommen bewusst zu sein scheint, wollen wir die Hauptfunktion von Hamilton betonen $S(q,\alpha,t)$ sollte nicht mit dem (Off-Shell-) Action- Funktional verwechselt werden

\begin{matrix} (4) & ICH [Q; T_{F}, T_{ich}] := \int_{T_{ich}}^{T_{F}} L (Q, \dot{Q}, T) D T, \end{matrix}

$I[q; t_f,t_i]~:=~ \int_{t_i}^{t_f} L(q,\dot{q},t) ~\mathrm{d}t,\tag{4}$

noch die (Dirichlet) On-Shell-Aktionsfunktion $S(q_f, t_f; q_i, t_i)$ . Weitere Informationen über die Beziehung und die Unterschiede zwischen $S(q,\alpha,t)$ , $S(q_f, t_f; q_i, t_i)$ , Und $I[q; t_i,t_f]$ siehe zB meine Phys.SE-Antworten hier und hier .

Betonen wir zum späteren Vergleich, dass wir uns beim stationären Wirkungsprinzip auf virtuelle Bahnen mit konstanter und gleich fester Anfangszeit beschränken $t_i$ . Ebenso zum letzten Mal $t_f$ .

IV) Ebenso Hamiltons charakteristische Funktion $W(q,\alpha)$ sollte nicht mit dem (off-shell) abgekürzten Aktionsfunktional verwechselt werden $A[q, E]$ , noch die (Dirichlet) abgekürzte Aktionsfunktion auf der Schale $W(q_f, q_i, E)$ . Das abgekürzte Aktionsfunktional $A[q, E]$ ist meist nur bei fehlender expliziter Zeitabhängigkeit definiert, vgl. Ref. 1 und 2. In diesem Fall die (Dirichlet) On-Shell-Action-Funktion

\begin{matrix} (5) & S (Q_{F}, Q_{ich}, T) = S (Q_{F}, T_{F}; Q_{ich}, T_{ich}) \end{matrix}

$S(q_f, q_i, T) ~=~S(q_f, t_f; q_i, t_i)\tag{5}$

hängt nur von der Zeitdifferenz ab $T:=t_f-t_i$ . Man kann zeigen, dass die

\begin{matrix} (6) & \frac{\partial S (Q_{F}, Q_{ich}, T)}{\partial T} = - E . \end{matrix}

$\frac{\partial S(q_f, q_i, T)}{\partial T}~=~-E.\tag{6}$

Für einen Beweis von Gl. (6), siehe zB meine Phys.SE-Antwort hier .

Das (off-shell) abgekürzte Aktionsfunktional $A[q, E]$ kann als Energie definiert werden $\leftrightarrow$ Zeit Transformation vom Legendre-Typ

\begin{matrix} (7) & A [Q; E, T_{F}, T_{ich}] = ICH [Q; T_{F}, T_{ich}] + E (T_{F} - T_{ich}) \end{matrix}

$A[q; E, t_f, t_i] ~=~ I[q; t_f,t_i] + E (t_f-t_i) \tag{7}$

des (off-shell) Aktionsfunktionals $I[q; t_f,t_i]$ .

Im Prinzip von Maupertuis beschränken wir uns auf virtuelle Pfade mit konstanter und gleicher fester Energie $E$ aber mit freien Endpunktzeiten $t_i$ Und $t_f$ . Formel (7) wird dann gleich

\begin{matrix} (8) & \begin{aligned} A [Q; E, T_{F}, T_{ich}] = & \int_{T_{ich}}^{T_{F}} P \dot{Q} D T, \\ P := & \frac{\partial L}{\partial \dot{Q}} . \end{aligned} \end{matrix}

$\begin{align} A[q; E, t_f, t_i]~=~& \int_{t_i}^{t_f} p\dot{q} ~\mathrm{d}t, \cr p~:=~&\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}.\end{align}\tag{8}$

Als Folge verkürzt sich die (Dirichlet) on-shell Aktion

\begin{matrix} (9) & \begin{aligned} W (Q_{F}, Q_{ich}, E) = & S (Q_{F}, Q_{ich}, T) + E T \\ \overset{(6)}{=} & S (Q_{F}, Q_{ich}, T) - T \frac{\partial S (Q_{F}, Q_{ich}, T)}{\partial T} \end{aligned} \end{matrix}

$\begin{align} W(q_f, q_i, E) ~=~& S(q_f, q_i, T) + E T\cr ~\stackrel{(6)}{=}~& S(q_f, q_i, T) - T\frac{\partial S(q_f, q_i, T)}{\partial T}\end{align} \tag{9}$

wird die $E\leftrightarrow T$ Legendre-Transformation der (Dirichlet) On-Shell-Aktionsfunktion $S(q_f, q_i, T)$ .

Verweise:

H. Goldstein, Klassische Mechanik.
L. Meirovitch, Methoden der Analytischen Dynamik.

Vielen Dank, das habe ich jetzt verstanden! Wenn man darüber nachdenkt, macht es keinen Sinn, das Merkmal FUNCTION mit dem Maupertuis FUNCTIONAL zu identifizieren. Ich denke, ich werde ein wenig Zeit brauchen, um Ihre Antwort zu verarbeiten, und ich werde mich bei Fragen melden! Beifall

Hamiltons charakteristische und Hauptfunktionen und Trennbarkeit

AngusTheMan

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QMechaniker

AngusTheMan

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