Welche nichtlinearen Verformungen wird ein schnell rotierender Planet aufweisen?

Unter Gebildeten ist allgemein bekannt, dass die Erde nicht genau kugelförmig ist, und einiges davon kommt von Gezeitenkräften und Inhomogenitäten, aber einiges davon kommt von der Rotation des Planeten selbst. Die Verformung durch den Rotationseffekt macht es eher abgeflacht, kugelförmig oder, wie ich es vorziehen würde, "wie ein Pfannkuchen". Hier ist eine Seite, die das Verhalten und das Bild veranschaulicht :

Erdform aus Rotationsverzerrung von Mathematical Imagery

Es gibt Literatur, die die mathematischen Erwartungen für einen rotierenden Planeten detailliert beschreibt, der nur hydrostatische Kräfte verwendet, zum Beispiel siehe Hydrostatische Theorie der Erde und ihre mechanischen Implikationen . Ich stelle mir gerne einen Wasserball im Weltraum vor, der durch seine eigene Schwerkraft zusammengehalten wird. Ich möchte auch nicht von der Betrachtung nur hydrostatischer (und Gravitations-) Kräfte abweichen, da ich denke, dass dies für diese Diskussion ausreichend ist.

Es scheint, dass die Lösung des beschriebenen Problems in Form einer kleinen Radiusänderung als Funktion des Azimutwinkels oder der z-Koordinate besteht, wenn Sie die Rotationsachse als die z-Achse nehmen. Dies nutzt die Rotationssymmetrie. Mit anderen Worten, die Verformung der Erde aufgrund der Rotation hängt nicht vom Längengrad ab.

Ich möchte nach dem Extremfall fragen. Stellen Sie sich einen Planeten vor, der sich so schnell dreht, dass er ein sehr dünner Pfannkuchen ist. Was wird in diesem Fall passieren? Ich bin neugierig:

  • Wird sich die Mitte aushöhlen und eine Donutform erzeugen?
  • Wird es in ein Mehrkörpersystem zerfallen?

Es scheint mir, dass es logisch wäre, wenn der Fall mit hoher Rotation in zwei oder mehr separate Körper zerfallen würde. Der Grund dafür ist, dass ein 2-Körper-System stabil ist und einen sehr großen Drehimpuls aufnehmen kann. Aber wäre es eine Instabilität, die zu diesem Fall führt? Wann würde eine solche Instabilität auftreten und könnte sich ein rotierender Planetenkörper von Anfang an in eine andere Form verformen, beispielsweise in eine hantelähnliche Form, die logischer in ein 2-Körper-System übergehen würde als die Pfannkuchenform?

Würde DAS passieren? Bildlink

Zusammenfassend, wie würde eine Pfannkuchenform in eine Hantelform übergehen? Oder würde es? Welche Möglichkeiten bietet das beschriebene System?

Das ist eine gute Frage. Ich weiß die Antwort nicht genau, aber ich würde vermuten, dass bei ausreichend hohen Rotationsraten die stabilste Konfiguration eine Hantelform ist, die die Rotationssymmetrie bricht. Das heißt, die Form ist eine nichttriviale Funktion des Längenwinkels ϕ , ebenso gut wie θ . Eine Gruppe von Menschen, die wahrscheinlich viel darüber wissen, sind Kernphysiker: Ich denke, dass schnell rotierende Kerne alle möglichen seltsamen Verformungen erleiden. Darüber hinaus wird es zumindest unter bestimmten Umständen als angemessen angesehen, Kerne mit einem "Flüssigkeitstropfenmodell" zu modellieren.
In einem fiktiven Kontext in Hal Clements altem Streitross Mission of Gravity besprochen .
@Ted, solche Verformungen werden für einige schwere Kerne und Vibrationen solcher Ellipsoide als Modell für die Spaltung diskutiert. Dies gilt jedoch immer für Oberflächenspannungsmodelle (Flüssigkeit). Für Seifenblasen lassen sich solche Umwandlungen leicht experimentell zeigen. Bei einem Gravitations-„Tropfen“ werden die Dinge anders sein, denke ich.
Sie haben wahrscheinlich Recht, dass der Gravitationsfall ganz anders ist, sodass der Kernfall für die vorliegende Frage möglicherweise nicht sehr relevant ist (obwohl er natürlich für sich genommen interessant ist).
@dmckee Ugh, der fiktive Mesklin-Planet klingt sooo nicht physisch. Ich werde etwas von dem preisgeben, was ich denke. Die hydrostatische Annahme schreibt vor, dass die Schwerkraft an jedem Oberflächenpunkt normal und gleich groß ist (im Gegensatz zu Mesklin). Dann ist die Masse proportional zu S EIN g . Ich glaube, dass einfache Argumente von dort SOWOHL den Pfannkuchen als auch die Langhantel widerlegen könnten. Ich denke, es wird in den Donut übergehen, ABER der Donut unterliegt Instabilitäten jenseits einer kritischen Drehung, bei der das Problem eine zweite Lösung hat, die 2-Körper ist.
@Zassounotsukushi: Zu beachten ist, dass das Diagramm der Hantelformbildung auf der Idee basiert, dass es zwei Rotationsachsen gibt. Ein schnell rotierender Planet hat nur eine Rotationsachse.
@Zassounotsukushi: Die Schwerkraft ist nicht an jedem Punkt auf der Oberfläche normal, da die Oberfläche in einem rotierenden Rahmen als Referenz fixiert ist. Die Oberfläche ist normal zu (Schwerkraft + Trägheitskräfte) AKA (Schwerkraft + Zentrifugalkraft).
Es sieht so aus, als ob die wichtigsten Schlagworte, nach denen man hier suchen sollte, die Maclaurin- und Jacobi-Sequenzen sind. Dies scheinen Gleichgewichtsformen für rotierende selbstgravitative Körper zu sein. Bei langsamen Rotationsraten scheint das stabile Gleichgewicht ein abgeflachtes Sphäroid zu sein (wie Sie es erwarten würden), aber bei höheren Raten wechselt es zu einem gestreckten Sphäroid, wodurch die Azimutsymmetrie gebrochen wird. Das ist zumindest der Eindruck, den ich nach einem kurzen Scan verschiedener Webseiten bekomme, aber ich habe nicht versucht, die Details zu verstehen. Es scheint auch andere Sequenzen zu geben (zB ptp.ipap.jp/link?PTP/67/844 ).
@ Ten: Danke für den Link. Das werde ich heute Abend lesen.
Nur ein Hinweis: Man könnte sich ansehen, wie Astrophysiker mit diesem Problem auf rapid rot umgehen. Pulsare/Magnetare (noch höhere Drehzahl als Pulsar). Das Verständnis der Verformung ist wahrscheinlich sehr wichtig für sie, da es die Strahlungsmuster dieser Sterne AFAIR verändern wird. Aber Vorsicht, die Pulsartheorie ist umwerfend, ich musste eine Präsentation über Strahlungsmechanismen halten, die die komplexe Physik darin bereits stark vereinfachen. Erhöhe das Kopfgeld ;)
Roger Forward hat ein hartes Science-Fiction-Werk über einen solchen Doppelplaneten namens Rocheworld geschrieben . Angesichts des Hintergrunds von Forward wäre es sehr überraschend, wenn eine solche Form nicht zumindest gravitationsstabil wäre.
@Frédéric Es scheint mir, dass die Rocheworld die vergleichsweise bescheidene Vision von zwei felsigen Planeten malt (obwohl ich denke, dass dies sie technisch gesehen nicht zu Planeten machen würde), die nahe genug beieinander kreisen, um die Atmosphäre zu teilen. Es ist klar, dass die Empfindlichkeit der Gezeitendeformation gegenüber der Rotationsgeschwindigkeit groß ist und in dieser Konfiguration tatsächlich auf unendlich begrenzt ist (dh eine sehr schwache Stabilität). Ob sich der Roche beim "Küssen" der Planetenoberflächen in eine "Hantel"-Form verwandeln könnte oder nicht, ist hier sehr offen.
@Zassounotsukushi: Ich erinnere mich an Rocheworld als eine Art Grenzfall, wo sich die beiden Planeten berühren. Aber ich habe das Buch im letzten Jahrhundert gelesen...

Antworten (3)

Für einen experimentellen Test siehe: Liquid murmels http://adsabs.harvard.edu/abs/2001Natur.411..924A

(Paywall http://www.nature.com/nature/journal/v411/n6840/full/411924a0.html )

Für einen Artikel in der Allgemeinen Relativitätstheorie siehe: Accurate simulations of the dynamical bar-mode instability in full general relativity http://adsabs.harvard.edu/abs/2007PhRvD..75d4023B

Sobald Sie beginnen, die Rotation zu erhöhen, wird der Pfannkuchen im Grunde instabil und geht in eine rotierende Stange (Hantel) über.

Wie auch immer, ich denke, dass niemand jemals gesehen hat, wie die Stange tatsächlich in zwei Teile zerbrach. Typischerweise verlieren Sie Materie aus den äußeren Regionen, verteilen den Drehimpuls neu und kehren zur Achsensymmetrie zurück.

Prost

Der Beitrag der Instabilität im Balkenmodus an sich reicht mir aus, um dies als Antwort auszuwählen, aber das bedeutet nicht, dass ich nicht immer noch über dieses Problem nachdenke. Ich war mir schon vorher der „Pfannkuchen-zu-Bar“-Entwicklung in Galaxien bewusst, aber die direkte Verwendung des Polytropenindex in Ihren zitierten Artikeln weist darauf hin, dass dieses genaue Problem in den Bereich einiger früherer Arbeiten fällt. Übrigens widerspricht dies meiner (fehlplatzierten?) Erwartung, dass die Balkenform instabil ist. Aber ich werde den Verdacht nicht los, dass "Bar"-Lösungen nur mit inneren Strömungen möglich sind, also Transport und nicht hydrostatisch.
Ich weiß nicht, ob das hilft, aber: Der Balken IST instabil, in dem Sinne, dass Simulationen darauf hinzudeuten scheinen, dass die beiden Arme immer asymmetrischer werden (einer wächst und der andere schrumpft), sodass Sie von m = 2 zu gehen ein m=1 Modus und schließlich m=0 (Achsensymmetrie).
Für die internen Ströme: Soweit ich weiß, können Sie die Schwelle für die Instabilität nur erreichen, wenn Sie eine unterschiedliche Rotation haben (der Kern dreht sich schneller als die Oberfläche). Bei starrer Rotation wird die äußere Schicht gelöst, bevor die Instabilität einsetzt, es sei denn, Sie haben etwas, das die Dinge zusammenhält (Oberflächenspannung für Tröpfchen, seltsames EOS für seltsame Sterne, nicht sicher bei sehr kompakten Objekten in GR, wenn ein Fenster vorhanden ist was mit starrer Rotation funktioniert, bevor das Objekt zu einem schwarzen Loch kollabiert, vorausgesetzt, dass starre Rotation in GR sinnvoll ist).
Neuere Artikel über Tröpfchen (Paywall, diese Leute mögen das Arxiv aus irgendeinem Grund nicht): Nonaxisymmetric Shapes of a Magneticly Levitated and Spinning Water Droplet ; Erzeugung und Stabilität toroidaler Tröpfchen in einer viskosen Flüssigkeit . Das zweite scheint wegen der Erzeugung mehrerer Tröpfchen interessant zu sein, aber ich denke trotzdem, dass hier die Oberflächenspannung eine große Rolle spielt.
Eine starre Drehung ist in GR für axialsymmetrische Dinge sinnvoll. Dies bedeutet, dass eine zwischen zwei Punkten verankerte Schnur ihre (richtige) Länge nicht ändert. Aber Planeten sind newtonsch.

Ich bin auf ein Papier gestoßen, das eine Lösung für dieses Problem darstellt. Zuerst bin ich über die folgende (aktuelle) Online-Zusammenfassung dieser Formen darauf gekommen:

http://www.aleph.se/andart/archives/2014/02/torusearth.html

Das Papier ist bei Arvix:

Gleichmäßig rotierende, achsensymmetrische Flüssigkeitskonfigurationen, die sich von stark abgeflachten Maclaurin-Sphäroiden gabeln . Februar 2008.

Kritisch scheint die erwähnte Gabelung genau das zu sein, auf das ich mich in dieser Frage bezogen habe. Sie beginnen immer mit einem Maclaurin-Sphäroid , was ich als "Pfannkuchen" bezeichnet habe. Dann durchlaufen sie einen Prozess und enden am Ende mit einem Torus oder mehreren Objekten. Hier ist das Bild, das das wahre Fleisch ihrer Entdeckungen veranschaulicht:

zwei Methoden

Sie können im Bild ganz links sehen, dass sie von einem Pfannkuchen zu einem einfachen Torus gehen. Der Prozess ganz rechts zeigt einen der anderen physikalischen Prozesstypen. Viele Konfigurationen stoßen jedoch auch an eine Massenabwurfgrenze . In dieser Situation führt das Hinzufügen von mehr Drehung dazu, dass die scheinbare Schwerkraft an der Kante negativ wird. Offensichtlich funktioniert das nicht, also "fliegt" das Material ins Weltall. Aber das ist nicht ganz richtig, es wird nur aus mathematischer Notwendigkeit subtrahiert, weil es eigentlich keine Fluchtgeschwindigkeit hat.

Weiter geht's... Ich bin überrascht. Ich hatte nicht erwartet, die oben gezeigte "Prise" in der Mitte zu sehen. Das ergibt für mich immer noch keinen Sinn, und ich kann kein gutes Argument dafür finden, warum es passiert. Damit es sich nach innen neigt, muss ich in der Lage sein, eine Nichtgleichgewichtskonfiguration zu postulieren, bei der das Zentrum entweder flach ist oder nach außen geneigt ist, und in dieser Konfiguration drücken die Kräfte / die Schwerkraft Material vom Zentrum weg . Dies ist ein sehr schwer zu akzeptierender Vorschlag. Ich sehe es entweder in der Gravitations- oder in der hydrostatischen Physik offensichtlich, die dies tun würde. Nichtsdestotrotz scheinen die Autoren mit vollständigen Computersimulationen, die sie mit der gesamten enthaltenen Problemkomplexität untermauern, hervorragende und gründliche Arbeit geleistet zu haben. Da liege ich also scheinbar falsch.

Wenn die Erde aus ihrem gegenwärtigen Zustand schnell genug gedreht würde, würden der Südpol und der Nordpol nach innen eintauchen . Das ist sehr seltsam, aber es scheint die richtige Antwort zu sein, wie aus diesem Papier hervorgeht.

@AlanSE: Meine Lektüre des Papiers ist, dass die Maclaurin-Form (C) jenseits einer kritischen Rotationsgeschwindigkeit gegenüber kleinen Störungen instabil wird. Für die ϵ 1 Wenn die Störung in eine Richtung geht (dicker in der Mitte), erreichen Sie die Masseabwurfgrenze (A), entwickeln eine scharfe Kante am Äquator und schleudern überschüssiges Material in den Weltraum. Wenn es in die andere Richtung geht (in der Mitte dünner), dann wird der Pfannkuchen zu einem Torus (I,J,K,L).

Die anderen Störungen sind im Wesentlichen höhere (achsensymmetrische) Harmonische. Eine echte Störung könnte eine Mischung aus mehreren Harmonischen sein oder sogar die Achsensymmetrie vollständig verletzen. Aber wenn Sie axialsymmetrisch bleiben, dann die ϵ k bilden wahrscheinlich einen orthogonalen Basissatz, der den gesamten Raum der axialsymmetrischen Störungen überspannt.

Welche nichtlinearen Verformungen wird ein schnell rotierender Planet aufweisen?
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