Ist es möglich, das alte Bohr-Sommerfeld-Modell aus der QM-Beschreibung des Atoms wiederherzustellen, indem einige Parameter ausgeschaltet werden?

Ist es möglich, das alte Bohr-Sommerfeld-Modell aus der QM-Beschreibung des Atoms wiederherzustellen, indem einige Parameter ausgeschaltet werden?

Können wir den Satz von Ehrenfest (oder ein anderes Schema) verwenden, um das QM-Modell auf das Bohr-Sommerfeld-Modell zu reduzieren? Wenn nein, warum nicht? Das Problem scheint bedeutsam zu sein, da es einige tiefe konzeptionelle Probleme beseitigen könnte.

Wie Sie auch vom Sommerfeld-Modell fragen, ist eine interessante Lektüre von LC Biedenharn „Das „Sommerfeld-Puzzle“ erneut besucht und gelöst“

Antworten (2)

Nein, das Bohr-Sommerfeld-Modell ist konzeptionell ein klassisches Spielzeugmodell (das nur fummelig gemacht wurde, um einige ausgewählte Quantisierungsmerkmale ähnlich der Quantenmechanik zu implizieren), daher ist es der eigentlichen quantenmechanischen Beschreibung oder einer Annäherung davon nicht äquivalent. Die Übereinstimmung des Bohr-Sommerfeld-Modells mit den richtigen quantenmechanischen Ergebnissen ist ein Zufall, eine Besonderheit des Wasserstoffatoms.

Die einzige Grenze, in der sich die Quantenmechanik auf die „Bohr-Sommerfeld-Physik“ reduziert, ist die Grenze großer Entfernungen und hoher Impulse Δ P ⋅ Δ X ≫ ℏ und in der sich sowohl die Quantenmechanik als auch das Bohr-Sommerfeld-Modell auf die klassische Physik ohne Bohr-ähnliche Quantisierungsbeschränkungen reduzieren. Für die Beschreibung tiefliegender Zustände des Wasserstoffatoms ist diese Grenze aber offensichtlich nicht relevant.

Nun, einige richtige Interpretationen der Bohr-Quantisierungsregeln tauchen auch in der semiklassischen (neben führenden) WKB-Näherung der Quantenmechanik auf. Aber man muss vorsichtig sein mit der Interpretation und verschiedenen Verschiebungen und Feinheiten. Zum Beispiel, ∫ P D Q über den Phasenraumkonturen ist ein Vielfaches von 2 π ℏ . In Bohrs altem Bild galt diese Aussage für erlaubte geschlossene Teilchenbahnen. In der Quantenmechanik trifft es jedoch auf Grenzen von Phasenraumbereichen entsprechend zu N Mikrozustände. Die Interpretationen sind leicht unterschiedlich.

In der QM gibt es typischerweise keine geschlossenen Trajektorien, wenn sich die anfänglich lokalisierten Wellenpakete ausbreiten, und in Feynmans Ansatz summiert man über alle klassischen Trajektorien, ob sie klassischen Bewegungsgleichungen und Bohrs Quantisierungsbedingungen gehorchen oder nicht.

Siehe auch

Bohr-Modell des Wasserstoffatoms - Energieniveaus des Wasserstoffatoms

Alle Kritik an meiner Antwort unten ist völlig hinfällig.

-1: Das ist falsch, und darauf wurde Sie oft hingewiesen: Bohr Sommerfeld stimmt mit QM in der Übereinstimmungsgrenze überein ℏ → 0 (nicht das Selbe wie Δ P Δ X groß, aber das ist nur ein Fehler, nicht der eigentliche Fehler) sowohl in nullter Ordnung (wie Sie sagen) als auch in erster Ordnung ℏ wie du fälschlicherweise andeutest, ist nicht wahr. Hör auf, das zu sagen.
@RonMaimon und Lubos, vielleicht habt ihr beide Recht? Ist das Bohr-Sommerfield-Modell für QM nicht das, was CED für QED ist?
@JohnMcVirgo: Nicht ganz, Lubos ist der Meinung, dass die Ad-hoc-Natur von Bohr-Sommerfeld (und damit hat er Recht) es nicht zu einer wahren Theorie macht, aber es ist besser, als er ihr zutraut, da es die Dichte korrekt wiedergibt von Zustände und Level-Spacing aus der klassischen Dynamik, und das wird den Leuten nicht mehr beigebracht.
Nein, Ron, das Bohr-Modell ist nur ein falsches klassisches Modell, eine falsche Modifikation der klassischen Physik, die in keiner Weise der QM entspricht und die schon früh als große Motivation diente, einen völlig neuen Rahmen für die Physik zu antizipieren und zu suchen 1910er - und die Menschen mussten noch 15 Jahre warten. Alle Quantenzahlen und Entartungen sind falsch. Zum Beispiel sagt QM voraus N 2 Entartung für Prinzipalzahl N oder 2 N 2 mit der Drehung. Keines dieser Dinge wird durch das alte Bohr-Modell reproduziert, das wirklich verwirrt und falsch identifiziert N Und M Und l , usw.
Andererseits ist die Bahnebene im Bohr-Modell willkürlich und stetig. In der richtigen QM wird es effektiv quantisiert, da die gesamte Entartung einschließlich der Rotationen im Raum endlich ist. Alles nur Fake, der Wasserstoff-Erfolg ist ein Zufall, der wahrscheinlich auf die besondere Einfachheit der einfachsten Atome zurückzuführen ist, und für alle anderen Atome fallen alle Vereinbarungen komplett weg.
@LubošMotl: Ja, wir wissen, wir wissen, ich habe meine -1 in +1 geändert, da du jetzt genau das Richtige sagst. Die Frage, die ich interpretiert habe als "Gibt es eine Annäherung an QM, bei der die führende Reihenfolge im hbar-Konto genau richtig ist und die untergeordnete Reihenfolge vernachlässigbar ist" oder "wann ist WKB genau?" Diese Frage hast du nicht angesprochen.
Vielen Dank für Ihre Antworten und Kommentare. Ich habe jetzt ein besseres Verständnis, obwohl ich schon früher von ähnlichen Argumenten gehört habe, aber nicht so klar. Ich habe jedoch immer noch ein Problem, das ich nicht verstehe, aber ich hoffe, ich bin nicht böswillig (oder dumm). Was mich wirklich stört, ist nicht die Quantisierung der Energie an sich, sondern die numerische Äquivalenz. Nun, das Potenzial sowohl im Bohr-Sommerfeld-Modell als auch im richtigen QM-Modell folgt beide dem 1 / r-Gesetz und bezieht es auf die Ladung, aber ich kann immer noch schwer erkennen, wie sie dazu kamen, das gleiche Ergebnis zu erzielen, selbst für die niedrigste Energieniveau.
Natürlich ist die Verwendung der Schrödinger-Gleichung für das klassische Potential (1/r) selbst etwas umständlich. Trotzdem denke ich jetzt, dass die Verbindung auf drei Arten hergestellt werden muss, dh klassisch, QM und QFT, da sie das 1 / r-Gesetz vorhersagt (Zee sagt, dass dies der Triumph der Physik des 20. Jahrhunderts ist, obwohl er keine Ladung vorhersagt). Also, ich denke, ich frage, das 1 / r-Gesetz, das beide Modelle zu zwingen scheint, dieselbe Energie vorherzusagen, wird mit QFT abgeleitet, aber wie reduziert es sich auf eine andere klassische als NUR mathematische Äquivalenz? Ich frage mich, ob all diese Fragen miteinander verbunden sind, oder ich mache keinen Sinn.
Liebe QSA, die 1 / R Das Potential ist, ähnlich wie der harmonische Oszillator, sehr speziell, so dass die bevorzugten Energien in der alt-Bohr-quantisierten klassischen Physik sowie in der Quantenphysik dieselben Ergebnisse liefern. Dies zeigt sich auch in der Coulomb-Streuung usw. Der eigentliche Wert der Wasserstoffbindungsenergie ist übrigens das natürlichste Produkt der Potenzen der Parameter, daher ist es nicht schockierend, dass er an mehreren Stellen erscheint. Keine dieser Vereinbarungen verallgemeinert über die 1 / R Und R 2 Potenziale.

Einige Versionen der Bohr-Sommerfeld-Quantisierung sind exakt für klassisch integrierbare Systeme (dh Systeme, die eine ziemlich große Symmetriegruppe in einem Sinn haben, der präzisiert werden kann), und daher insbesondere für das Wasserstoffatom.

Allerdings ist bereits das 3-Körper-Problem nicht integrierbar, und sogar die halbklassischen Versionen von Bohr-Sommerfeld (die die ersten nichtklassischen Korrekturen beibehalten) führen zu unordentlichen Formeln, obwohl sie einige interessante Mathematik beinhalten (z. B. Gutzwillers Spurformel).

Numerisch ist Bohrs Modell jenseits von Wasserstoff ziemlich irreführend.

Danke Arnold, aber meine Frage ist sehr spezifisch. Ich verstehe die Algebra, die sowohl die Energie in der richtigen QM gleich der Bohr-Atomenergie {kein Spin} macht. Ich finde das ein erstaunlicher Zufall, finden Sie nicht? Oder übersehe ich etwas?
Ich meine, es gibt mindestens drei Konstanten, die arithmetisch richtig mit den genauen Potenzen ausgerichtet wurden.
@QSA: Der einzige Zufall ist die Tatsache, dass das 2-Körper-Problem vollständig integrierbar ist und mehr Symmetrien aufweist als ein beliebiges rotationsinvariantes System. Aber es gibt viele vollständig integrierbare Systeme, also ist diese Koinzidenz eher die Art, dass eine ebene Form ein Quadrat oder ein Kreis ist, als eine allgemeinere Art. - Ein Großteil der Physik besteht darin, diese Art von Zufällen auszunutzen, um allgemeinere Systeme mit Hilfe der Störungstheorie um diese Spezialfälle herum in den Griff zu bekommen.
Tut mir leid, Arnold, aber ich hoffe, ich strapaziere deine Geduld nicht. Ok, das Bohr-Modell ist ein 2-Körper-Problem, aber betrachten Sie die Schrödinger-Gleichung (für Wasserstoff) als ein 2-Körper-Problem? Ich meine, wir sagen, die drei Methoden der QM (Matrix, Schrödinger, Pfadintegral) sind mathematisch äquivalent, wir sagen sogar, die Physik ist gleich. Aber in unserem Fall gibt es keine offensichtliche mathematische oder physikalische Intuition, um das eine auf das andere zu reduzieren. Das eine ist eine algebraische Manipulation und das andere lösen wir eine Differentialgleichung.
@QSA: Die Schrödinger-Gleichung für Wasserstoff ist in der Tat das Quanten-2-Körper-Problem für das 1 / r-Potential. Deshalb ist sie exakt lösbar und erhält man exakte Bohr-Sommerfeld-Regeln. - Im Heisenberg-Bild sind der klassische und der Quantenfall sehr ähnlich, und das Schrödinger-Bild ist dem Heisenberg-Bild äquivalent, mit einer fast trivialen physikalischen Interpretation der Äquivalenz. Ich weiß also nicht, worüber Sie sich beschweren.
Danke, deine Antwort ist jetzt klarer. Aber mein Problem ist, dass Sie und Lubos zu sagen scheinen, dass die Energie (= e ^ 4 m / h ^ 2) zufällig, aber nicht überraschend ist. Meiner Meinung nach sieht es zufällig, aber sehr überraschend aus. Es ist nicht so, dass wir ein klassisches Problem hatten (das war nie) und dann einen Satz von Ehrenfest gefunden haben, um die Korrespondenz herzustellen. Es ist ok, obwohl ich jetzt besser darüber nachdenken kann. Danke euch allen.
Ist es möglich, das alte Bohr-Sommerfeld-Modell aus der QM-Beschreibung des Atoms wiederherzustellen, indem einige Parameter ausgeschaltet werden?
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