Bohr-Modell des Wasserstoffatoms - Energieniveaus des Wasserstoffatoms

Das Bohr-Modell war nicht die richtige Theorie der gesamten Atomphysik, aber es beschrieb die Ebenen des Wasserstoffatoms korrekt, aufgrund eines mathematischen Zufalls, der mit diesem lösbaren mathematischen Problem in der vollständigen Quantenmechanik zusammenhängt.

Die Integralbedingungen des Bohr-Modells wurden ad hoc gewählt – so gewählt, dass die Energieniveaus, wie sie in den Wasserstoff-Absorptions-/Emissionsspektren zu sehen sind, angepasst werden konnten – aber der berechtigteste Ausgangspunkt, um sie abzuleiten, war die Sommerfeld-Wilson-Quantisierungsbedingung

$$\int_0^T p_r\cdot dq_r = nh$$ wo das Integral von $p\,dq$geht über eine Umlaufzeit. In dieser Form ist es analog zu der Aussage in der vollen Quantenmechanik – die Mitte 1920 das Bohr-Modell ablöste – dass der Phasenraum (Raum parametrisiert durch die Orte $q$und Momente $p$) besteht aus Zellen, deren Fläche (oder Volumen) gleich einem Vielfachen von ist $h=2\pi\hbar$(oder Kräfte von $h$, wenn es viele Koordinaten gibt). Die Umlaufbahn umkreist einen Bereich im Phasenraum, und der Bereich sollte quantisiert werden.

Zufällig entspricht dies auch ziemlich genau der Quantisierung des Drehimpulses,$L=n\hbar$. In der Quantenmechanik gelten ähnliche Bedingungen, aber aus etwas anderen Gründen, und die Quantisierung des Drehimpulses erlaubt auch halbzahlige Werte:$J=n\hbar/2$Wo$n$ist nach der Quantenmechanik ganzzahlig.

Man muss die Erklärungen im Bohr-Modell von denen in der eigentlichen Quantenmechanik trennen; sie sind inäquivalent, weil die Modelle ebenfalls inäquivalent sind. Und es macht wenig Sinn, über den Ursprung der Bedingungen im Bohr-Modell nachzudenken, weil das Bohr-Modell grundsätzlich nicht die richtige Theorie ist, wie wir sie heute kennen.

In der vollständigen Quantenmechanik kann man auf mehrere „Quantisierungs“-Fakten stoßen, bei denen die Quanten proportional sind$h$oder$\hbar$oder$\hbar/2$. Alle haben einen Quantenursprung, aber die detaillierte Erklärung ist für jeden anders: die Quantisierung des Drehimpulses; die Elementarzelle des Phasenraums; die unphysikalischen Verschiebungen der Wirkung um ein Vielfaches von$h$.

Die Grundregel, die die Quantisierung des Drehimpulses rechtfertigte, lässt sich wie folgt aus dem Korrespondenzprinzip ableiten. Diese Ableitung ist heuristisch und ungenau und wird erst dann absolut richtig, wenn man die vollständige Quantenmechanik kennt.

Stellen Sie sich ein Elektron vor, das einen Kern der Ladung 1 (Proton, Deuteron oder Triton) mit großem Radius R und Drehimpuls L umkreist. Die klassische Periode wird gefunden, indem die Zentripetalkraft mit der elektrostatischen Anziehung des Elektrons zum Kern gleichgesetzt wird:

$${mv^2\over R} = { e^2\over R^2}$$

Wo${1\over 4\pi\epsilon_0}$Faktor geht in die Konstante e ein. Daraus ergibt sich also die Bahngeschwindigkeit v

$$v = \sqrt{ e^2\over m R}$$

Das sagt Ihnen, wie lange Sie um den Kreis gehen müssen$T={2\pi R\over v}$. Also die Winkelfrequenz$\omega$der Umlaufbahn

$${2\pi\over T} = \omega = -\sqrt{e^2\over m R^3}$$

Die kinetische Energie des umkreisenden Elektrons ergibt sich direkt aus der Zentripetalformel:

$${mv^2\over 2} = {e^2\over 2R}$$

Die potentielle Energie ist:

$$-{e^2\over R}$$

Die Gesamtenergie ist also die Hälfte der negativen potentiellen Energie

$$- { e^2\over 2R}$$

Klassischerweise strahlt dieses System elektromagnetische Wellen aus, die periodisch mit der Periode T sind. Das bedeutet, dass die ausgehende Strahlung eine Frequenz hat$\omega$. Quantenmechanisch kann das umkreisende Elektron nur Photonen mit diskreten Energieklumpen emittieren, und das bedeutet, dass sich die Energie nur in Schritten von ändern kann$\hbar\omega$, die die Energie eines Photons der Frequenz ist$\omega$.

Dies bedeutet, dass bei einer konsistenten Photonenemission die Energien in diskreten Energieniveaus verteilt sein müssen und der Abstand zwischen zwei benachbarten Niveaus bei großem R gleich der klassischen Orbitalfrequenz ist:

$$\Delta E = \hbar \omega = -\hbar\sqrt{e^2\over m R^3}$$

Diese Bedingung bedeutet, dass, wenn ein Energieniveau bei vorhanden ist$E$, gibt es ein anderes Energieniveau bei$E-\Delta E$(wo Sie nach einer Photonenemission landen), dann bei einer anderen$E-2\Delta E$in diskreten Schritten.

Das ist alles halbklassische Argumentation und funktioniert nur wirklich, wenn der Abstand eingehalten wird$\Delta E$ist viel kleiner als die kinetische Energie und die potentielle Energie. Der Abstand geht als 3/2-Potenz des Radius gegen Null, daher gilt diese Näherung für große Umlaufbahnen.

Sie können auch den R-Abstand zwischen benachbarten Umlaufbahnen ermitteln

$$E = -{e^2\over 2R}$$ $$dE = {e^2\over 2R^2} dR$$

Der Abstand in E übersetzt sich also in einen Abstand in R (in der Näherung, dass$\Delta E$und deshalb$\Delta R$sind beide klein, so dass sie sich den infinitesimalen Differentialen oben annähern)

$$\Delta R = {2R^2\over e^2} \Delta E = 2 \hbar \sqrt{R\over m e^2}$$

Die Änderung von E und R in jedem Schritt ist kompliziert, aber$\hbar$hat die gleichen Einheiten wie der Drehimpuls, und Sie können die Änderung des Drehimpulses berechnen , wenn Sie einen einzelnen Schritt machen:

$$L = mv R = \sqrt{e^2 m R}$$ $$dL = {1\over 2} \sqrt{e^2 m\over R} dR$$

So dass

$$\Delta L = {1\over 2} \sqrt{e^2 m \over R} \Delta R = \hbar$$

Das ist sehr einfach --- der Drehimpuls ist in ganzzahligen Vielfachen von beabstandet$\hbar$auf großen Kreisbahnen. Daraus kann man die plausible Vermutung anstellen, dass dies für alle Quantenzahlen gilt, große und kleine, und dann folgt das Bohr-Modell.

Die Verallgemeinerung dieses Arguments zur Ableitung der alten Quantenbedingung besteht darin, die Periode klassischer Umlaufbahnen zu berücksichtigen und den Energieabstand gleich zu machen$\hbar$mal die Orbitalfrequenz für ein allgemeines System. Diese Anforderung bedeutet, dass semiklassisch:

$$J = \int p dq = 2\pi n \hbar = n h$$

Dies ist auf der Wikipedia-Seite zum Korrespondenzprinzip dargestellt . Die gleiche Größe J ist eine adiabatische Invariante , sie ändert sich nicht unter langsamen Verformungen eines klassischen Systems, und die quantisierte Größe muss diese Eigenschaft haben, da eine langsame Verformung nicht die hohen Frequenzen hat, die für Zustandsübergänge in der Quantenmechanik erforderlich sind . Dieses Argument ist auf der Wikipedia-Seite zu den adiabatischen Invarianten zusammengefasst .