Nimmt die Rotverschiebung eines Objekts tatsächlich mit der Zeit ab?

Question

Nimmt die Rotverschiebung eines Objekts tatsächlich mit der Zeit ab?

NeutronStar

Ich versuche zu bestimmen, wie sich die Rotverschiebung eines Objekts (insbesondere die Rotverschiebung aufgrund der Expansion des Universums) mit der Zeit ändert. Beginnend mit einer Definition des Hubble-Parameters,

H \equiv \frac{\dot{a}}{a}

$H \equiv \frac{\dot a}{a}$

mit $a$ Da es sich um den Skalierungsfaktor handelt, können wir schreiben

\dot{a} = H a .

$\dot a = Ha~.$

Wir können rechnen $\dot z$ bezüglich $\dot a$ . Seit $a=(1+z)^{-1}$ ,

\dot{a} = - (1 + z)^{- 2} \dot{z} .

$\dot a = -(1+z)^{-2}\dot z~.$

Stecken $a$ und $\dot a$ in die erste oder zweite Gleichung, die ich hier geschrieben habe, können wir finden

\dot{z} = - H (1 + z) .

$\dot z = - H(1+z)~.$

Dieses negative Vorzeichen überrascht mich etwas. Das hätte ich erwartet $\dot z$ positiv gewesen wäre, dh dass die Rotverschiebung eines Objekts mit der Zeit zunimmt. Ich hätte dies allein aufgrund der Tatsache erwartet, dass sich das Universum ausdehnt, aber vielleicht irre ich mich mit diesem Gedanken. Wenn ja, sagen Sie mir bitte wie. Die Expansion des Universums beschleunigt sich jedoch derzeit, und daher würde ich davon auch das erwarten $\dot z$ wäre positiv, denn später scheinen sich die Dinge schneller von uns zu entfernen als jetzt. Gibt es eine Art kosmologischer konstanter Abhängigkeit, die ich bei meiner obigen Ableitung nicht berücksichtigt habe?

Meine Frage zusammenfassend: Warum gibt es ein negatives Vorzeichen in der Gleichung für $\dot z$ ? Habe ich den Ausdruck falsch hergeleitet? Oder liege ich falsch in der Annahme, dass es positiv sein sollte?

Antworten (4)

Nimmt die Rotverschiebung eines Objekts tatsächlich mit der Zeit ab?

Pulsar · Answer 1

Die Rotverschiebung einer Quelle ändert sich tatsächlich auf kompliziertere Weise: Als die Quelle in unseren kosmologischen Horizont eintrat (dh in dem Moment, in dem ihr Licht zum ersten Mal die Erde erreichte), war ihre Rotverschiebung $\infty$ , weil es sich am Rand unseres beobachtbaren Universums befand. Mit der Zeit nimmt diese Rotverschiebung dann auf einen Minimalwert ab, durch die Expansion des Universums nimmt sie aber schließlich wieder zu . In ferner Zukunft werden alle Quellen wieder rotverschoben $\infty$ (im Standard $\Lambda\text{CDM}$ Modell).

Lassen Sie uns die richtige Formel herleiten. Für weitere Details verweise ich auf diesen Beitrag: https://physics.stackexchange.com/a/63780/24142

Der Hubble-Parameter in der $\Lambda\text{CDM}$ Modell ist

H (a) = H_{0} \sqrt{Ω_{R, 0} a^{- 4} + Ω_{M, 0} a^{- 3} + Ω_{K, 0}, a^{- 2} + Ω_{Λ, 0}},

$H(a) = H_0\sqrt{\Omega_{R,0}\,a^{-4} + \Omega_{M,0}\,a^{-3} + \Omega_{K,0},a^{-2} + \Omega_{\Lambda,0}}\;,$ mit

Ω_{K, 0} = 1 - Ω_{R, 0} - Ω_{M, 0} - Ω_{Λ, 0}

$\Omega_{K,0} = 1 - \Omega_{R,0} - \Omega_{M,0} - \Omega_{\Lambda,0}$ .

Die beobachtete Rotverschiebung $z_\text{ob}=z(t_\text{ob})$ jeweils einer Quelle $t_\text{ob}$ wird von gegeben

1 + z_{ob} = \frac{a_{ob}}{a_{em}},

$1 + z_\text{ob} = \frac{a_\text{ob}}{a_\text{em}},$ mit

a_{ob} = a (t_{ob})

$a_\text{ob} = a(t_\text{ob})$ der Skalierungsfaktor zum Zeitpunkt der Beobachtung und

a_{em} = a (t_{em})

$a_\text{em} = a(t_\text{em})$ der damalige Skalierungsfaktor

t_{em}

$t_\text{em}$ , wenn die Quelle das Licht aussendete, das bei beobachtet wurde

t_{ob}

$t_\text{ob}$ . Daraus können wir schreiben

a_{em}

$a_\text{em}$ als Funktion von

z_{ob}

$z_\text{ob}$ und

a_{ob}

$a_\text{ob}$ :

\begin{matrix} (1) & a_{em} = \frac{a_{ob}}{1 + z_{ob}} . \end{matrix}

$a_\text{em} = \frac{a_\text{ob}}{1 + z_\text{ob}}.\tag{1}$ Wenn sich die Quelle mit dem Hubble-Fluss bewegt, bleibt ihre Mitbewegungsdistanz konstant:

D_{c} (z (t_{ob}), t_{ob}) = c \int_{a_{em}}^{a_{ob}} \frac{d a}{a^{2} H (a)} = konst .

$D_\text{c}(z(t_\text{ob}),t_\text{ob}) = c\int_{a_\text{em}}^{a_\text{ob}}\frac{\text{d}a}{a^2H(a)} = \text{const}.$ Deshalb, wenn wir behandeln

t_{ob}

$t_\text{ob}$ als Variable die Gesamtableitung bzgl

t_{ob}

$t_\text{ob}$ ist null:

{\dot{D}}_{c} = \frac{d D_{c}}{d t_{ob}} = 0,

$\dot{D}_\text{c} = \frac{\text{d} D_\text{c}}{\text{d} t_\text{ob}} = 0,$ was bedeutet, dass mit der Leibnizschen Integralregel

\frac{{\dot{a}}_{ob}}{a_{ob}^{2} H (a_{ob})} = \frac{{\dot{a}}_{em}}{a_{em}^{2} H (a_{em})} .

$\frac{\dot{a}_\text{ob}}{a_\text{ob}^2H(a_\text{ob})} = \frac{\dot{a}_\text{em}}{a_\text{em}^2H(a_\text{em})}.$ oder mit

H (a_{ob}) = {\dot{a}}_{ob} / a_{ob}

$H(a_\text{ob})= \dot{a}_\text{ob}/a_\text{ob}$ ,

\begin{matrix} (2) & {\dot{a}}_{em} = \frac{a_{em}^{2}}{a_{ob}} H (a_{em}) . \end{matrix}

$\dot{a}_\text{em} = \frac{a_\text{em}^2}{a_\text{ob}}H(a_\text{em}).\tag{2}$ Wir haben auch aus Gl. (1):

{\dot{a}}_{em} = \frac{{\dot{a}}_{ob}}{1 + z_{ob}} - \frac{a_{ob} {\dot{z}}_{ob}}{(1 + z_{ob})^{2}} .

$\dot{a}_\text{em} = \frac{\dot{a}_\text{ob}}{1 + z_\text{ob}} - \frac{a_\text{ob}\,\dot{z}_\text{ob}}{(1 + z_\text{ob})^2}.$ Einsetzen in Gl. (2), finden wir

{\dot{z}}_{ob} = (1 + z_{ob}) \frac{{\dot{a}}_{ob}}{a_{ob}} - \frac{a_{em}^{2}}{a_{ob}^{2}} (1 + z_{ob})^{2} H (a_{em}),

$\dot{z}_\text{ob} = (1 + z_\text{ob})\frac{\dot{a}_\text{ob}}{a_\text{ob}} - \frac{a_\text{em}^2}{a^2_\text{ob}}(1 + z_\text{ob})^2H(a_\text{em}),$ was vereinfacht zu

{\dot{z}}_{ob} = (1 + z_{ob}) H (a_{ob}) - H (a_{em}) .

$\dot{z}_\text{ob} = (1 + z_\text{ob})H(a_\text{ob}) - H(a_\text{em}).$ Insbesondere wenn wir den heutigen Tag als Beobachtungszeit nehmen, haben wir

\dot{z} = (1 + z) H_{0} - H (\frac{1}{1 + z}) .

$\dot{z} = (1+z)H_0 - H\!\left(\!\frac{1}{1+z}\!\right).$ Seit

H (a)

$H(a)$ nimmt in Abhängigkeit von ab

a

$a$ , wenn das folgt

{\dot{z}}_{ob} < 0

$\dot{z}_\text{ob} < 0$ wenn

z_{ob}

$z_\text{ob}$ ist sehr groß (und

a_{ob}

$a_\text{ob}$ ausreichend klein ist) und

{\dot{z}}_{ob} > 0

$\dot{z}_\text{ob} > 0$ wenn

z_{ob}

$z_\text{ob}$ ist klein bzw

a_{ob}

$a_\text{ob}$ ist groß.

Das bedeutet auch, dass es zu jeder Zeit eine Rotverschiebung gibt $\dot{z}_\text{ob} = 0$ . Unter Verwendung der gleichen Werte der kosmologischen Parameter wie in meinem Referenzbeitrag finde ich, dass diese 'Übergangs-Rotverschiebung' aktuell ist $z=1.92$ . Also die Rotverschiebung einer Galaxie mit heutiger Rotverschiebung $z<1.92$ nimmt zu , während die Rotverschiebung einer Galaxie mit $z>1.92$ nimmt derzeit ab .

Schauen Sie sich auch das Diagramm in meinem Referenzbeitrag an: Die gestrichelten Linien stellen Konturen von Konstanten dar $z_\text{ob}$ zu einem bestimmten Beobachtungszeitpunkt; Galaxien bewegen sich vertikal (gestrichelte Linien). Sie werden dasselbe sehen: Wenn eine Galaxie den Teilchenhorizont überquert, ist ihre Rotverschiebung $\infty$ , danach nimmt sie ab, wird aber in (ferner) Zukunft wieder zunehmen.

Siehe auch Gl. (11) in dem Artikel Expanding Confusion: common misconceptions of cosmological horizons and the superluminal expansion of the Universe von Davis & Lineweaver.

Benutzer10851 · Answer 2

Hinweis: In diesem Beitrag analysiere ich die Situation, wenn der Beobachter entlang des Nullpfades gleitet, der mit der Quelle verbunden ist, dh die Situation, dieselbe Wellenfront an verschiedenen Punkten entlang ihres Lichtkegels zu empfangen. Wenn Sie die Entwicklung der Rotverschiebung einer bestimmten Galaxie wollen, während wir sie im Laufe der Zeit beobachten, wo die Emission, die wir zu verschiedenen Zeiten vom selben Ort einfangen, notwendigerweise zu verschiedenen Zeiten entlang der Weltlinie der Galaxie emittiert wurde, lesen Sie die Antwort von Pulsar .

Es ist alles eine Frage der Zeit, die durch diese Punkte impliziert wird.

$z$ ist die Rotverschiebung, die wir heute von Licht beobachten, das vor einiger Zeit emittiert wurde. Sie denken wahrscheinlich, wenn der Beobachter bei der Emission beginnt, dann $z = 0$ , und klar $z$ nimmt zu, wenn wir den Beobachter zeitlich vorwärts bewegen.

Jedoch, $z$ als Funktion von $t$ wird allgemein die zu der festen Zeit beobachtete Rotverschiebung verstanden $t_0$ heute als Funktion der variablen Zeit $t$ wann das Licht emittiert wurde. Als $t \to t_0$ , sollte sich die beobachtete Rotverschiebung nähern $0$ von der positiven Seite, also $\dot{z}$ sollte negativ sein.

Wenn Sie eher den Beobachter als den Emitter bewegen möchten, denken Sie daran, dass die beobachtete Rotverschiebung gehorcht

1 + z (t_{1}, t_{2}) = \frac{a_{2} (t_{2})}{a_{1} (t_{1})}

$1 + z(t_1,t_2) = \frac{a_2(t_2)}{a_1(t_1)}$ für Licht, das zur Zeit emittiert wird

t_{1}

$t_1$ mit Skalierungsfaktor

a_{1}

$a_1$ und zeitweise beobachtet

t_{2}

$t_2$ mit Skalierungsfaktor

a_{2}

$a_2$ . Dann

\frac{\partial z}{\partial t_{2}} |_{t_{1}} = {\dot{a}}_{2} \frac{\partial z}{\partial a_{2}} |_{a_{1}} = \frac{{\dot{a}}_{2}}{a_{1}},

$\frac{\partial z}{\partial t_2} \bigg\vert_{t_1} = \dot{a}_2 \frac{\partial z}{\partial a_2} \bigg\vert_{a_1} = \frac{\dot{a}_2}{a_1},$ was in einem expandierenden Universum in der Tat positiv ist.

Sorry Chris, das ist nicht ganz richtig. Nimmt man nur die Ableitung von $a_2$ , dann vergleicht man am Ende die Rotverschiebungen verschiedener Galaxien. Wenn Sie wissen möchten, wie sich die Rotverschiebung einer einzelnen Galaxie ändert, müssen Sie die Änderung berücksichtigen $a_1$ ebenfalls berücksichtigen. Siehe meinen Beitrag und siehe auch Gl. (11) in der Abhandlung von Davis & Lineweaver oder Seite 13 in Weinberg's Cosmology .
Ich denke, wir verwenden nur unterschiedliche Interpretationen des Szenarios, die beide auf ihre eigene Weise gültig sind. Ich schiebe den Emitter und/oder Beobachter konzeptionell entlang des Nullpfades, der sie verbindet, während Sie sie entlang des Hubble-Flusses bewegen. Mit anderen Worten, ja, meine Analyse verfolgt keine bestimmten Galaxien, aber das ist nicht die einzige Möglichkeit, die Frage zu interpretieren. Stimmen Sie meiner Beobachtung zu?
Nun, das OP fragt, wie sich die Rotverschiebung eines Objekts mit der Zeit ändert, also denke ich, dass er eine bestimmte Galaxie meint. Ich schätze, wir müssen ihn fragen. Kosmologie kann ziemlich verwirrend sein :-)

Evan Rule · Answer 3

Ihre Ableitung ist richtig, aber Sie werden verwirrt, wenn Sie das Ergebnis interpretieren. Um es klar zu sagen, die Tatsache, dass sich die Expansion des Universums beschleunigt, ist für dieses Problem irrelevant, weil die beschleunigte Expansion damit zu tun hat $\ddot{a}$ .

Die Tatsache, dass $\dot{z}<0$ mag paradox erscheinen, weil, wie Sie sagen, die Rotverschiebung eines Objekts mit der Zeit zunimmt. Lassen Sie uns diese Aussage aufschlüsseln. Weiter entfernte Objekte erscheinen durch die Ausdehnung des Universums stärker rotverschoben. Warum ist das wahr? Nun, weil wir Licht beobachten, das zu einer Zeit emittiert wurde, als der Skalierungsfaktor des Universums geringer war als heute, und je weiter entfernt das Licht kommt, desto weiter zurück in der Zeit wurde es emittiert und desto kleiner der Skalierungsfaktor zu dieser Zeit.

Die Rotverschiebung ist relativ zum aktuellen Skalierungsfaktor des Universums. Die vollständige Gleichung sollte lauten:

1 + z = \frac{a_{0}}{a},

$\begin{equation} 1+z = \frac{a_0}{a}, \end{equation}$ wo

a_{0}

$a_0$ ist heute der Skalierungsfaktor, den wir mit 1 annehmen, und

a

$a$ ist der Skalierungsfaktor eines entfernten Objekts, dessen Rotverschiebung wir wissen wollen. Es macht wenig Sinn, über die zeitliche Entwicklung von zu sprechen

a

$a$ in diesem Fall, da das Objekt, dessen Licht wir messen, irgendwann in der Vergangenheit existierte, als der Skalierungsfaktor des Universums anders war als heute. Wenn wir uns steigern wollen

a

$a$ , für eine feste Expansionshistorie haben wir keine andere Wahl, als das Objekt zu einem späteren Zeitpunkt zu verschieben, wenn

a

$a$ größer ist, wodurch das Objekt zu einer niedrigeren Rotverschiebung bewegt wird. Dies ist der Grund, warum Sie ein negatives Vorzeichen erhalten.

Wie Sie betonen, werden entfernte Objekte in Zukunft höhere Rotverschiebungen aufweisen als heute. Das liegt am Skalierungsfaktor der Gegenwart $a_0$ erhöht sich im Zähler der obigen Gleichung und erzwingt die Rotverschiebung von Objekten bei einem festen Skalierungsfaktor $a$ ebenfalls zu erhöhen.

Fabrice NEYRET · Answer 4

So wie ich es verstehe: Wenn sich das Objekt dem Horizontereignis nähert, wird die Verzögerung, Nachrichten davon zu erhalten, immer größer. Wenn seine scheinbare Geschwindigkeit c (am Horizont) ist, werden Sie niemals sein Licht empfangen (Übrigens ist die Rotverschiebung total: Frequenz=0 ). Es gibt also eine horizontale Asymptote zu 0 in der z(t)-Kurve.

Die Frage stellt sich nach der Rotverschiebung aufgrund der Hubble-Expansion des Universums.
Ja. In Bezug auf ein bestimmtes Objekt, das durch Expansion immer weiter geht (oder irre ich mich?). Der Ereignishorizont, den ich erwähne, ist die Grenze des sichtbaren Universums.

Nimmt die Rotverschiebung eines Objekts tatsächlich mit der Zeit ab?

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