Warum kommen quantenphysikalische Eigenschaften paarweise vor?

Die Dualität ist aufgrund des Begriffs der kanonischen Konjugation in der klassischen Mechanik eine Dualität.

Der Grund, warum die Leute sagen, dass sie paarweise auftreten, hat nichts mit der Quantenmechanik zu tun, sondern mit der Struktur der klassischen Mechanik. Um Ihnen in der klassischen Mechanik die Anfangsbedingungen für ein System zu geben, müssen Sie die Anfangsposition von allem und auch den Anfangsimpuls angeben. Die klassischen Variablen kommen paarweise vor. Diese Paare werden kanonisch konjugiert genannt, weil sie die Eigenschaft haben, dass ihre zeitliche Änderungsrate durch die Ableitung der Energie in Bezug auf die andere gegeben ist.

Die quantenmechanische Beschreibung gilt nur für Wellenfunktionen, die über Werte eines der beiden kanonisch konjugierten Paare variieren. Die andere ist nicht frei spezifizierbar, die Wellenfunktion, die ihre Quantenbeschreibung gibt, lässt sich aus der ersten ableiten.

Man drückt das Versagen der klassischen Mechanik aus, indem man sagt, dass die Hälfte aller Anfangsdaten durch Unsicherheit mit der anderen Hälfte in Beziehung stehen. Das ist die Quantendualität. Diese Idee war historisch wichtig, weil sie erklären konnte, wie die klassischen Gleichungen unverändert in die Quantenmechanik aufgenommen werden konnten, während die Vorhersagen probabilistisch wurden. Die Leute haben Analogien zu dem Fall gezogen, in dem Sie ein klassisches Teilchen haben, dessen Position und Impuls unbekannt sind und das der Heisenberg-Beziehung gehorcht. Die Quantenmechanik ist insofern völlig anders, als das Vorhandensein an verschiedenen Positionszuständen durch Wahrscheinlichkeitsamplituden parametrisiert wird, nicht durch Wahrscheinlichkeiten. Die Beschreibung erfolgt aber immer über die Hälfte der Phasenraumvariablen.

Die Unsicherheit in Position/Impuls ist direkt analog zur Unsicherheit in Winkelposition/Winkelimpuls, in der Unsicherheit der Phase eines Feldmodus und der Teilchenzahl dieses Modus und in jedem anderen kanonisch kojugierten Paar. Zustände bestimmter Position sind auch unsichere Energie, weil Energie und Position nicht pendeln, aber niemand nennt dies eine Dualität, weil Energie und Position nicht kanonisch konjugiert sind.

Ich sollte auch auf das Energie/Zeit-Unsicherheitsprinzip hinweisen, das in den üblichen Formulierungen der QM schwer in Form von kanonischen Paaren vorstellbar ist, weil Partikeln keine Zeit zugeordnet ist, aber alle Partikel eine globale Zeit haben. In Schwinger/Feynman-Teilchenformalismen ist dies erledigt, aber die Unbestimmtheitsrelation kann natürlich in jedem Formalismus ausgearbeitet werden. Diese Unsicherheitsrelation wird von manchen vielleicht nicht als Dualität bezeichnet, ich weiß es nicht.

Gute Frage! Für die durch die Unschärferelation verbundenen Eigenschaften gibt es zwei Gründe, warum sie paarweise auftreten:

1. Intuitiv bezieht die Unschärferelation die Varianz einer Funktion auf die Varianz ihrer Fourier-Transformation. Und bis auf ein paar numerische Faktoren ist die Fourier-Transformation einer Fourier-Transformation die ursprüngliche Funktion. (Mathematiker werden sich gegen diese Aussage sträuben, weil sie technisch nicht stimmt, aber konzeptionell ist sie für meine Zwecke hier genau genug.) Der Prozess der Fourier-Konjugation führt Sie also durch einen Zyklus von zwei Funktionen.

2. Mathematisch basiert die Unschärferelation nämlich auf Kommutatoren

   $$\sigma_A \sigma_B \ge \biggl|\frac{1}{2i}\langle[A,B]\rangle\biggr|$$

   und es macht nicht wirklich viel Sinn, den Kommutator von drei oder mehr Operatoren zu berechnen, da es mehrere Möglichkeiten gibt, sie neu anzuordnen.

1) Es gibt bereits viele gute Antworten, die die herkömmliche Theorie und Beobachtungen erklären. Dennoch scheint es im Zusammenhang mit Kommentaren von Lurscher und Adam Zalcman angebracht, die Nambu-Klammer zu erwähnen , die eine Poisson-ähnliche Klammer ist

mit 3 Funktionseinträgen, ursprünglich 1973 von Nambu erfunden, angeblich in einem gescheiterten Erklärungsversuch$SU(3)$Symmetrie von Quarks. Bereits Nambu diskutiert einen Operator 3-Klammer

und man kann sich eine Art Unsicherheitsrelation vorstellen, die damit verbunden ist, wo kanonische Variablen in Tripeln vorkommen. Leider ist das Thema bisher nur theoretische Spekulationen geblieben. [Die Autoren sind sich nicht einmal einig, was die Jacobi-Identität für die Poisson-Klammer ersetzen soll$\{ f,g\}$, obwohl die meisten denken, dass es die sogenannte Filippov-Grundidentität (FI) sein sollte.]

2) Kürzlich im Jahr 2008 wurde die Nambu-Klammer im Bagger-Lambert-Gustavsson- M2-Brane-Vorschlag verwendet.

3) Es gibt verschiedene Verallgemeinerungen zu höheren Nambu-Klammern

mit$n$Einträge.

4) Weitere Informationen finden Sie in dieser aktuellen Überprüfung .

Ich denke, das hat mit der Tatsache zu tun, dass das eine der infinitesimale Generator des anderen ist (dh p ist der Generator der Position). Wenn ich mich richtig erinnere, entstehen Kommutatoren natürlich, wenn wir eine Lie-Algebra erzeugen (da bin ich mir nicht ganz sicher).

Das liegt daran, dass physikalische Observable Operatoren in der Quantenmechanik sind. Für zwei Bediener$F,G$, kann man immer den Kommutator berechnen

Aber wenn Sie Ihren klassischen Anfangszustand durch die Werte von Observablen definieren$Q_i$(beinhaltet sowohl Positionen als auch Geschwindigkeiten oder Impulse im bekannten Fall), können Sie Konfigurationen in der Nähe von studieren$Q_i$. Auf diese Weise linearisieren Sie den Phasenraum und den Kommutator

Die Umordnung einer größeren Anzahl von Operatoren, z$XYZT-YTZX$, lässt sich immer auf Transpositionen der Nachbarn zurückführen, also auf Kommutatoren zweier Operatoren. Deshalb werden die gewöhnlichen Kommutatoren immer wichtiger. Im gruppentheoretischen Kontext der Mathematik definieren die Kommutatoren die sogenannte „Lie-Algebra“. Es gibt auch Verallgemeinerungen von Kommutatoren mit mehr als 2 Objekten in den Klammern, aber sie scheinen physikalisch viel weniger relevant zu sein. Insbesondere sind sie nicht natürlich für Operatoren definiert – und physikalische Observables werden im QM zu Operatoren.

[Peter: Du hast das vor einiger Zeit gefragt, aber es ist einfach eine zu reizvolle Frage, um sie zu übergehen, ohne meine zwei konjugierten Cents hinzuzufügen ... :) Du hast bereits mehrere gute Antworten (ich mochte besonders die von David Zaslavsky), also diese wird konzeptlastig und mathematiklastig sein.]

Eine Möglichkeit zu visualisieren, warum Quantenunsicherheit paarweise auftritt, besteht darin, sich das Universum so vorzustellen, als hätte es zwei Räume, die eine symmetrische, wechselseitige Beziehung teilen.

Den ersten dieser Räume nennen wir Raumzeit, bestehend aus xyz (Raum) plus t (Zeit). Der Kürze halber nenne ich diesen xyzt-Raum "Längenraum" und bezeichne ihn noch kürzer als nur x . Der Längenraum ist natürlich der Raum, den wir am besten kennen, und ist der Raum, in dem die meisten klassischen physikalischen Phänomene stattfinden.

Die Sekunde der Räume ist technisch gesehen eine Abstraktion, aber in Bezug auf messbare Effekte ist sie eine so reale Abstraktion, wie Sie wahrscheinlich antreffen werden. Er heißt Impulsraum und hat ebenfalls vier Dimensionen:$p_{x}p_{y}p_{z}$, die Impulsachsen, plus$E$, die Energieachse. Ich werde anrufen$p_{x}p_{y}p_{z}E$"Impulsraum", und wird ihn auch einfach als p bezeichnen .

Impuls und Energie gehören natürlich sehr stark zur klassischen Mechanik. In der klassischen Mechanik dominiert jedoch x über p in ähnlicher Weise wie Luft über Wasser in einer Wolke, indem sie das Wasser in viele winzige und isolierte Tröpfchen aufbricht. Diese strukturelle Dominanz von x über p bedeutet, dass p sich hauptsächlich in den dynamischen Eigenschaften zeigt, wie sich große Objekte in x bewegen und interagieren , und nicht als Raum.

Bei Objekten, die sehr klein sind, sehr wenig Energie oder sehr wenig Impuls haben, ändert sich diese Situation jedoch. Beispielsweise gibt es Fälle, in denen gewöhnliche Materie "kondensieren" oder Flüssigkeiten bilden kann, die am einfachsten als im Impulsraum befindlich beschrieben werden können. Sie könnten denken, dass solche bizarren Flüssigkeiten selten und exotisch sind, aber das ist überhaupt nicht der Fall. Wenn Sie beispielsweise in einen Spiegel oder auf ein glänzendes Stück Metall schauen, sehen Sie direkt auf die Oberfläche einer Art p- Raum-Kondensat, das als Fermi-Meer bezeichnet wird. Das Fermi-Meer besteht aus Leitungselektronen, und nur Elektronen ganz oben auf diesem Meer sind in der Lage, Licht zu reflektieren.

Es ist oft nützlich, sich p ungefähr als den Ort vorzustellen , an dem die seltsamen Verhaltensweisen der Quantenmechanik stattfinden. Warum das so ist, erkläre ich weiter unten, da es direkt mit Ihrer Frage zur Quantenunsicherheit zusammenhängt.

Nun zum Kern Ihrer Frage: Aus Gründen, die meiner Meinung nach am besten als die Art und Weise beschrieben werden können, wie unser Universum funktioniert, besteht eine außergewöhnlich tiefe und größtenteils symmetrische Beziehung zwischen x und p . Ich kann diese Beziehung folgendermaßen beschreiben: Jeder Punkt in jedem Raum x und p verhält sich wie ein abgestimmter Funkempfänger für eine bestimmte Frequenz entlang der äquivalenten Achse im anderen Raum.

Stellen Sie sich zum Beispiel die vor$p_x$p -Achse wie ein analoger Radiotuner im alten Stil, die Art mit einem kleinen roten Punkt, der die von Ihnen gewählte Frequenz anzeigt. Wenn Sie den roten Punkt auf die Position „103,5 Megahertz“ schieben, würde eine Sinuswelle mit genau dieser Frequenz drüben entstehen$x$x -Achse . Diese unendlich lange sinusförmige Welle wird dann zu einer anderen Möglichkeit, den roten Punkt zu „betrachten“, da jeder den anderen genau definiert.

Das ist alles schön und gut, aber es ist auch wichtig zu erkennen, dass dies in beide Richtungen funktioniert . Das heißt, wenn Sie sich stattdessen entscheiden, einen „Messpunkt“ entlang der Längsraumachse auszuwählen$x$, das wird auch eine reine Frequenz entlang der entsprechenden Achse des anderen Raums auswählen, dh entlang der$p_x$von p . Das ist eine schöne Symmetrie!

Es ist eine Symmetrie mit einigen tiefgreifenden Konsequenzen. Denken Sie daran, wenn Sie einen kompakten Punkt in p auswählen , erhalten Sie eine sehr lange Sinusfrequenz in x und umgekehrt. Nehmen wir also an, Sie möchten Ihr Teilchen nicht so sehr in x verstreut haben, und Sie beschließen, alles an einem kompakten Punkt in x zusammenzufassen . Hoppla! In dem Moment, in dem Sie das tun, bewirkt die symmetrische Beziehung, dass die Darstellung des Teilchens in p in eine unendlich lange Sinuswelle explodiert.

Nun, da x der Länge (und der Zeit) und p dem Impuls (und der Energie) entspricht , woran erinnert Sie diese merkwürdige Wippenbeziehung? Wenn Sie auf Quantenunsicherheit geantwortet haben, liegen Sie genau richtig. Genau das ist die Quantenunsicherheit auf ihren tiefsten Ebenen: die Unmöglichkeit, dasselbe Teilchen gleichzeitig sowohl im x- als auch im p- Raum kompakt darzustellen, aufgrund ihrer symmetrischen „Abstimmungs“-Beziehung zueinander.

Die Radio-Skala-ähnliche Frequenzabstimmung dieser Räume hat einen genaueren Namen: Sie heißt Fourier-Transformation. Wenn Sie also einen alten Funkempfänger haben und damit einen Punkt entlang einer linearen Skala hin und her bewegen, können Sie korrekterweise sagen, dass Sie eine Fourier-Transformation von der Frequenz der Funkwelle zur linearen Position Ihres Funkgeräts durchführen wählen.

Hier ist also endlich die Antwort auf Ihre ursprüngliche Frage: Die Quantenunsicherheit scheint sich immer in Paaren auszudrücken, anstatt in Tripeln oder einer anderen Kombination.

Die Antwort ist, dass Unsicherheit durch Raumpaare definiert wird, die in beiden Richtungen durch Fourier-Transformationen verbunden sind, was wiederum nur so aussieht, als wäre unser Universum aufgebaut. Um ein Quanten-Unsicherheits-Triplett zu erzeugen, müssten Sie ein neues Universum postulieren, in dem es eine Fourier-ähnliche Drei-Wege- Beziehung gibt , die sich vermutlich über drei parallele Räume erstreckt. Autsch! Das ist überhaupt nicht intuitiv.

Aber auch, es ist nicht unbedingt unmöglich. Einige der interessantesten und wichtigsten Erkenntnisse sowohl in der Mathematik als auch in der Physik stammen von Menschen, die versuchten, nominell „unmögliche“ Dinge zu tun, die sich als interessante und nicht triviale Lösungen herausstellten. Diracs Vorhersage von Antimaterie kommt einem sicherlich in den Sinn, da er sich in diesem Fall einmischte und stur wurde, nur „lineare“ Lösungen für einige Gleichungen zu wollen, die keine linearen Lösungen hatten. Durch die Verwendung komplexer Matrizenmathematik fand er schließlich einen Weg, dies zu tun – und deckte gleichzeitig eine der tiefsten Gleichungen der Physik auf. Seine Instinkte und sein hartnäckiges Beharren darauf, sie durchzusetzen, führten zu einem einzigartigen und spektakulären Erfolg.

(Und eine Warnung an die Weisen: Sehr wenige Menschen haben tatsächlich einen physikalischen Instinkt wie Dirac, und selbst Dirac wurde in seinen späteren Jahren auf ziemlich schiefe Weise stur. Wenn also jemand versuchen möchte, Ideen wie diese zum Spaß zu erforschen, verwenden Sie bitte ein bisschen Vorsicht bei der Übernahme des „sturen“ Teils des Dirac-Erkenntnisrezepts!)

Und schließlich: Ich habe vorhin gesagt, dass x und p nicht exakt symmetrisch sind. Was habe ich damit gemeint? Die Hin- und Her-Fourier-Beziehung ist genau symmetrisch, soweit wir das beurteilen können. Wo kommt also der Zusammenbruch der Symmetrie ins Spiel?

Der Hauptbruch ist folgender: Während das Hinzufügen von Größe oder Distanz nichts x (Länge) Raum kostet, erweist sich das Hinzufügen von Größe in p (Impuls) Raum als sehr kostspielig. Das bedeutet, dass es kein Problem ist, ein Teilchen sehr genau in p zu platzieren , selbst wenn dies zu einer absolut enormen (z. B. Lichtjahre breiten) Wellenfunktion im gewöhnlichen x- Raum führt. Da das Hinzufügen von mehr Größe zur x- Wellenfunktion nichts kostet, kann sie sich einfach weiter ausbreiten, bis sie durch etwas gestört wird.

Wenn Sie stattdessen versuchen, das Teilchen an eine sehr genaue Stelle in x zu stopfen , wird die Wellenfunktion in p wieder enorm. Da der Impuls jedoch Energie kostet, wird eine große Wellenfunktion in p schnell enorm teuer in Bezug auf die Masse-Energie, die benötigt wird, um sie aufrechtzuerhalten. Das ist ein Grund, warum Teilchenbeschleuniger so viel Energie in ihre Teilchen stecken müssen. Die zusätzliche Energie dehnt ihre energieintensive p -Raumwelle aus, bis sie groß genug ist, um ihre Größe im gewöhnlichen x- Raum tatsächlich sehr klein zu machen. Mit solchen Energiezuführungen lassen sich beispielsweise Elektronen so genau im Raum orten, dass sie die Bewegungen einzelner Quarks im Inneren von Protonen und Neutronen „sehen“ können.

Also massiver Overkill, aber nochmal: Das war eine gute Frage. Und wer weiß? Vielleicht kommt eines Tages ein kluger mathematisch veranlagter Mensch auf eine unerwartete n-Raum-Verallgemeinerung der Fourier-2-Raum-Beziehung, die unser Universum zu leiten scheint. Wie das alte Sprichwort sagt, ist der einzig sichere Weg zum Scheitern, es nie zu versuchen.

Die verallgemeinerten Unschärferelation setzt zwei beliebige Observable in Beziehung ( siehe zB die Schrödinger-Unschärferelation ).

Es kann wahrscheinlich weiter auf mehr als zwei Observable verallgemeinert werden, möglicherweise ausgehend von

Damit verwandt sind kanonisch konjugierte Observablen wie$x,p_x$, für die die klassische Unschärferelation gilt, weil sie der Vertauschungsrelation unterliegen

Diese Observables sind jedoch nicht alltäglich: Insbesondere das Observable$x$entspricht einer Koordinate des zugrunde liegenden Konfigurationsraums.

In der klassischen Mechanik folgt die Existenz eines konjugierten Impulses aus der symplektischen Struktur des Phasenraums, in der Quantenmechanik aus den Eigenschaften der Fourier-Transformation auf unserem Zustandsraum$L^2$.

Das ist nicht unbedingt der Fall. Neben Ort und Impuls gibt es beispielsweise auch andere Observable wie Energie (und nein, Zeit ist ein Parameter und kein Operator). Noch auffälliger ist, dass es für den Spin kein natürliches Paar gibt. Es gibt einen Drehimpulsoperator, der der Komponente in jeder Raumrichtung entspricht, aber Richtungen kommen nicht natürlich paarweise vor.

Ein System wird durch Variablen unserer Wahl beschrieben, wie z$x,y,z$.

Sie werden durch Änderungen kombiniert, die als eine betrachtet werden und einen Systemzeitschritt definieren.

Der Grund für konjugierte Variablen ist, dass die Änderungen ihrer Werte im gleichen Zeitschritt erfolgen.

Als Beispiel, wenn die Position$x$ändert, wird sie von einer Geschwindigkeitsänderung begleitet$ẋ$.$x$Und$ẋ$sind konjugiert.

Der Lagrange$L$weiß noch nicht, ob sie ein Zeitschritt sind. Minimierung$∫Ldt$man erhält die Euler-Lagrange-Gleichung$∂_x L - d ∂_ẋ L / dt = 0$, welches ist$F=ṗ$, Durch Ersetzen$∂_ẋ L = p$Und$F=∂_x L$.

Da wir minimiert haben, haben wir die Doppelzählung entfernt. Jede Veränderung ist nun ein physikalischer Zeitschritt$dI$.$I = ∫dI$ist der Full Count, dh die vollständige Information des Systems.

Verwenden eines beliebigen Zeitschritts$dt$motiviert$H = dI/dt$als Vergleich zwischen zwei Systemzeiten. Die Euler-Lagrange-Gleichung entspricht den Hamilton-Gleichungen, die mit der Notation hier geschrieben werden können als:

Wir brauchen die nicht$dt$.

Mit anderen Worten (und das Ablegen der$-$):

Jede$dI$Änderung wird durch ein Volumenelement im Phasenraum repräsentiert$dpdx$.

Die Informationsauflösung der physischen Welt hat eine untere Grenze$h$.

$dpdx$ist nur ein Beispiel. Sie führt auf die Schrödinger-Gleichung. Die Dirac-Gleichungen haben mehr Observablen, die in denselben Systemzeitschritt fallen und unten begrenzt sind durch$h$.