Wie groß kann ein Kerr-Schwarzes Loch bei einer gegebenen Masse werden?

Die Geometrie in einem schwarzen Kerr-Loch ist ziemlich verrückt. Die Ringsingularität hat keinen richtigen "Radius" (oder "Durchmesser"), ebenso wenig wie jeder andere konzentrische Kreis in der Äquatorialebene. Ein konzentrischer Kreis in der Äquatorialebene (im Folgenden nur als "Kreis" bezeichnet) hat jedoch einen richtigen Umfang . Die Ringsingularität selbst nicht, aber andere Kreise tun es, also können wir einen anderen speziellen Kreis auswählen und seinen richtigen Umfang verwenden, um die "Größe" des Schwarzen Lochs zu charakterisieren.

Mit richtigem Umfang meine ich den richtigen (koordinatenunabhängigen) Abstand um den Umfang des Kreises, berechnet mit der Raumzeitmetrik. Von nun an bedeutet "Umfang" richtiger Umfang.

In diesem Sinne ist hier eine Möglichkeit, die Frage zu beantworten. Lassen$G$Und$c$die Newtonsche Konstante bzw. die Lichtgeschwindigkeit sein. Für jedes schwarze Kerr-Loch mit Gesamtmasse$M$, zeigt der Anhang, dass der Ereignishorizont einen Umfang hat$K_\text{horizon}$gegeben von

$$K_\text{horizon}=\frac{4\pi GM}{c^2} \tag{1}$$ in der Äquatorialebene, unabhängig davon, wie schnell sich das Schwarze Loch dreht, mit einer Einschränkung: Wenn es sich zu schnell dreht, dann hat es überhaupt keinen Ereignishorizont. Aber solange sein Drehimpuls$J$erfüllt die Ungleichung $$J<\frac{GM^2}{c}, \tag{2}$$ dann ist ein Ereignishorizont vorhanden und sein äquatorialer Umfang$K$ist durch Gleichung (1) gegeben.

Wir bevorzugen vielleicht eine Vorstellung von "Größe", die davon abhängt , wie schnell sich das Schwarze Loch dreht. Es gibt ein paar natürliche Möglichkeiten. Hier beschreibe ich eines, das dem im OP geforderten relativ nahe kommt, und es zeigt auch, wie verrückt die Geometrie in einem schwarzen Kerr-Loch ist.

Betrachten Sie die kontinuierliche Familie konzentrischer Kreise in der Äquatorebene, beginnend mit dem (äußeren) geraden Horizont und fortschreitend nach innen in Richtung der Ringsingularität. Vier solcher Kreise sind hier dargestellt:

Überraschenderweise erreicht der Eigenumfang bei einem Zwischenkreis, hier als Kreis dargestellt, einen Minimalwert$2$. Der Umfang nimmt zu, wenn man sich entweder vom Zentrum weg oder zum Zentrum hin bewegt . Insbesondere der Umfang des äußeren Horizonts (Kreis$1$) ist gleich dem Umfang des inneren Horizonts (Kreis$3$). Weiter nach innen in Richtung der Ringsingularität nimmt der Umfang weiter zu und wird an der Ringsingularität (Kreis$4$). Der Mindestumfang$K_\text{min}$(Kreis$2$) hängt sowohl von der Masse als auch vom Spin des Schwarzen Lochs ab, im Gegensatz zum äquatorialen Umfang beider Ereignishorizonte (Kreise$1$oder$3$), die nur von der Masse abhängt. Für eine bestimmte Masse$M$und einem gegebenen Drehimpuls$J\geq 0$die Ungleichung (2) erfüllend, ist der minimale Umfang

$$K_\text{min}=2\pi\sqrt{a^2+3(ma^2)^{2/3}} \tag{3}$$ wo die Mengen$m$Und$a$, die beide Längeneinheiten haben, sind definiert durch $$m=\frac{GM}{c^2} \hskip2cm a=\frac{J}{Mc}. \tag{4}$$ Bezüglich dieser Größen gilt die Ungleichung (2). $$a < m. \tag{5}$$ Der Kreis mit dem kleinsten Umfang (3) ist hinter dem äußeren Ereignishorizont verborgen, aber wir können ihn dennoch verwenden, um die Größe des Schwarzen Lochs zu charakterisieren. Im nicht drehenden Fall ($a\to 0$) schrumpft der minimale Umfang (3) auf Null, der Umfang des Ereignishorizonts (1) bleibt jedoch gleich. In diesem Sinne der Mindestumfang$K_\text{min}$ist ein besserer Proxy für die (undefinierte) Größe der Ringsingularität.

Wenn wir den minimalen Umfang (3) verwenden, um die Größe des Schwarzen Lochs zu charakterisieren, dann kann die Frage wie folgt interpretiert werden: Für ein Kerr-Schwarzes Loch mit einer bestimmten Masse$M$, wie groß darf der Mindestumfang sein$K_\text{min}$Sei? Die Antwort ist

$$\text{max}(K_\text{min})=4\pi\frac{GM}{c^2}, \tag{6}$$ die man aus (3) erhält, indem man den Spin auf seinen Maximalwert setzt$a=m$(ein extremales Kerr-Schwarzes Loch ), der Grenzfall zwischen einem Schwarzen Loch und einer nackten Singularität. Der Umfang (6) ist derselbe wie (1), also ist die maximale "Größe" des Schwarzen Lochs dieselbe, wenn man eine dieser beiden Definitionen von "Größe" verwendet. Quantitativ für ein Schwarzes Loch mit der Masse$M=25\times$die Masse der Sonne ist dieser Umfang $$K\approx 466\text{ km}.$$ Wenn wir dies verwenden, um einen "Durchmesser" zu definieren$D$von$D=K/\pi$, dann wäre der "Durchmesser".$D\approx 148$km.

ist die Ringform auf die Zentrifugalkraft zurückzuführen?

Da die Raumzeitmetrik auf der Ringsingularität undefiniert ist, hat diese Frage keine direkte Antwort. Die Metrik des Kerr-Schwarzen Lochs ist eine axialsymmetrische Lösung der Einstein-Feldgleichung mit einer gegebenen Masse und einem gegebenen Drehimpuls, wobei angenommen wird, dass die Raumzeit leer ist, wo immer die Metrik wohldefiniert ist.

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Anhang: Herleitung der Gleichungen (1) und (3)

Ich beginne mit der Kerr-Metrik in Kerr-Schild-Koordinaten $t,x,y,z$, die in Gleichung (32) in „The Kerr spacetime: A brief Introduction“ ( https://arxiv.org/abs/0706.0622 ) gezeigt wird. Die Äquatorialebene ist die durch definierte Ebene$t=z=0$. In dieser Ebene reduziert sich die Metrik auf

$$ds^2=dx^2+dy^2+\frac{2m}{r}\left( \frac{r}{a^2+r^2}(x\,dx+y\,dy) + \frac{a}{a^2+r^2}(y\,dx-x\,dy) \right)^2 \tag{A.1}$$ Wo$s$ist der richtige Abstand und wo die Funktion$r(x,y)$ist definiert durch $$r^2 = x^2+y^2-a^2. \tag{A.2}$$ Wenn wir neue Koordinaten definieren$\rho,\phi$von $$x=\rho\cos\phi \hskip2cm y = \rho\sin\phi, \tag{A.3}$$ dann wird die Metrik (A.1) zu $$ds^2=d\rho^2+\rho^2 d\phi^2+\frac{2m}{r}\left( \frac{r}{\rho}\,d\rho + a\,d\phi \right)^2 \tag{A.4}$$ und die Funktion$r$wird jetzt durch gegeben $$r^2 = \rho^2-a^2.$$ Ein auf der Symmetrieachse zentrierter Kreis hat$d\rho=0$, also ist der richtige Abstand entlang eines solchen Kreises gegeben durch $$ds^2 =\left(\rho^2+\frac{2ma^2}{r}\right)d\phi^2 =\left(a^2+r^2+\frac{2ma^2}{r}\right)d\phi^2. \tag{A.5}$$ Für einen Kreis mit dem gegebenen Wert von$\rho$, der richtige Umfang$K$wird durch Integrieren des richtigen Abstands berechnet$s$über die Reichweite$0\leq\phi<2\pi$, was gibt $$K = 2\pi\sqrt{a^2+r^2+\frac{2ma^2}{r}}. \tag{A.6}$$ Der Mindestwert von$K$entspricht dem Wert von$r$das befriedigt $$\frac{d}{dr}\left(r^2+\frac{2ma^2}{r}\right)=0, \tag{A.7}$$ nämlich$r=(ma^2)^{1/3}$. Wenn man dies in (A.6) verwendet, erhält man den Ausdruck (3) für den minimalen Umfang.

Das Kerr-Schwarze Loch hat zwei Ereignishorizonte , einen äußeren Horizont und einen inneren Horizont, die diesen beiden Werten von entsprechen$r$:

$$r_\pm =m\pm\sqrt{m^2-a^2}. \tag{A.8}$$ Diese befriedigen $$r_+ r_-=a^2 \tag{A.9}$$ was impliziert $$\frac{r_+}{a}=\frac{a}{r_-}. \tag{A.10)}$$ Diese Beziehung zusammen mit der Identität $$a^2+r_\pm^2 = 2mr_\pm \tag{A.11}$$ kann in (A.6) verwendet werden, um zu zeigen, dass die entsprechenden Umfänge beide durch Gleichung (1) gegeben sind. Insbesondere haben der innere und der äußere Ereignishorizont in der Äquatorialebene den gleichen Eigenumfang . Der Kreis mit dem kleinsten Umfang (3) liegt zwischen diesen beiden Ereignishorizonten.

Der metrische Umfang in natürlichen Einheiten von GM/c² ist

$$2 \pi \sqrt{|g_{\phi \phi}|} = 2 \pi \sqrt{| \rm \frac{a^2 \sin ^4 \theta \left(a^2+r^2-2 r+\mho ^2\right)-\left(a^2+r^2\right)^2 \sin ^2 \theta }{a^2 \cos ^2 \theta+r^2}|}$$

wobei a=Jc/G/M² der dimensionslose Spinparameter ist und ℧=Q/M·√(K/G), also in der Äquatorialebene bei θ=π/2 erhalten wir

$$2 \pi \sqrt{|g_{\phi \phi}|} = 2 \pi \sqrt{| \rm \frac{\left(a^2+r^2\right)^2-a^2 \left(a^2+r^2-2 r+\mho ^2\right)}{r^2}|}$$

Dies ist unendlich in der Grenze, wenn r gegen 0 geht (der Boyer-Lindquist-Koordinatenradius der Singularität). Der kartesische Radius ist

$$\rm R = \sqrt{\Sigma} = \sqrt{r^2+a^2 \cos^2 \theta}$$

das ist genau aGM/c² auf der Äquatorialebene, für ein Oberflächendiagramm siehe hier .