Hat ein Flügel in einer potentiellen Strömung Auftrieb?

Die erste Frage, die Sie sich stellen müssen, lautet: Gibt es wirklich eine rotationsfreie, nichtviskose, inkompressible Flüssigkeit?

Die Antwort ist nein (naja, ja, irgendwie, wenn man Superflüssigkeiten in Betracht zieht ). Die rotationsfreie, reibungsfreie, inkompressible Flüssigkeit ist eine mathematische Erfindung, um die Lösung der maßgeblichen Gleichungen einfacher zu machen.

Lift kann ohne Viskosität nicht existieren! Das ist das häufigste Missverständnis, das aus einem Aerodynamik-Grundkurs kommt. Es muss also wiederholt werden. Auftrieb kann ohne Viskosität nicht existieren .

Startproblem

Wenn wir uns jedoch den potenziellen Fluss ansehen, erhalten wir Druckunterschiede, und diese Druckunterschiede führen zu einem Auftrieb. Was gibt es also? Erstens gelten die Potentialgleichungen nicht wirklich, bis der Startwirbel weit genug entfernt ist. Die Diskussion über ausreichend weit weg ist wiederum ein vager Begriff. Aber es beinhaltet die Bestimmung der Geschwindigkeit, die durch den Startwirbel auf den Flügel induziert wird, unter Verwendung des Biot-Savart- Gesetzes. Im Wesentlichen ist es "weit genug" entfernt, wenn die induzierte Geschwindigkeit relativ zu den anderen Geschwindigkeitsgrößen im Problem klein ist. Durch die Viskosität entsteht dieser Startwirbel und dieser Startwirbel verursacht Druckunterschiede.

Außerdem wird in Abwesenheit von Viskosität die Zirkulation um einen geschlossenen Weg aufrechterhalten. Dies ist kein Problem, wenn wir unser Gebiet groß genug machen, um den Startwirbel einzuschließen. Wir können jedoch mit den Annahmen, die gemacht wurden, um die Potentialgleichungen zu erhalten, nicht wirklich nach dem Startwirbel auflösen, also müssen wir ihn aus dem Bereich weglassen. Das bedeutet, dass wir innerhalb unserer Domäne eine Art Zirkulation haben müssen, und dies wird zum gebundenen Wirbel .

Hier ist eine Illustration (verzeihen Sie mir, ich bin ganz entschieden kein Künstler):

Beim Start bewirkt die Viskosität, dass der Startwirbel abgeworfen wird und sich stromabwärts fortsetzt. Potentialgleichungen können diese Situation nicht behandeln, da ihnen der viskose Term fehlt. Es ist einfach nichts, was sie vorhersagen können. In freier Strömung verhält sich die Strömung jedoch so, als ob sie reibungsfrei wäre. Wenn also das Startproblem übersehen wird, wird dieser Wirbel für immer bestehen, weil nichts ihn zerstreuen wird. Wenn wir diese solide äußere Linie als Kontrollfläche nehmen, können wir um sie herum integrieren und feststellen, dass es keine Zirkulation gibt. Lord Kelvin kann sich also beruhigt zurücklehnen.

Da dieser Wirbel aber ewig anhält, ist es nicht möglich, ihn ewig zu verfolgen oder die Lösung des Problems wird sehr teuer. Und wir sind (normalerweise) an der stationären Lösung interessiert (obwohl auch instationäre potenzielle Lösungen möglich sind). Also machen wir einen künstlichen Schnitt in unserem Bereich, das ist die gestrichelte Linie. Wenn wir diesen Schnitt machen, muss das Wirbelintegral um die Summe der beiden kleineren Steuerflächen immer noch 0 sein . Dies bedeutet, dass der an das Schaufelblatt gebundene Wirbel eine gleich große und entgegengesetzt gerichtete Zirkulation wie der Ausgangswirbel hat.

Während dieses Anfahrvorgangs sind an der Hinterkante sehr große Geschwindigkeitsgradienten vorhanden. Das ist es, was bewirkt, dass dieser Wirbel abgeworfen wird. Sobald sich der Wirbel entfernt, werden die Geschwindigkeitsgradienten immer kleiner und erreichen schließlich Null. Diese Null-Gradient-Bedingung wird automatisch von der Viskosität gehandhabt, muss aber in den Potentialgleichungen durch die Kutta-Bedingung erzwungen werden .

Kutta-Zustand

Der Grund, warum wir die Kutta-Bedingung brauchen, ist rein mathematisch. Wenn die reibungsfreie Annahme gemacht wird, fällt die Ordnung der maßgeblichen Gleichungen und wir können zwei Randbedingungen nicht mehr durchsetzen. Betrachten wir die inkompressible, viskose Impulsgleichung:

$\frac{\partial u_i}{\partial t} + u_i\frac{\partial u_i}{\partial x_j} = -\frac{1}{\rho}\frac{\partial P}{\partial x_i} + \nu \frac{\partial^2 u_i}{\partial x_j \partial x_i}$

Wir können zwei Randbedingungen erzwingen, weil wir eine zweite Ableitung in haben$u$. Wir setzen diese normalerweise auf$u_n = 0$und$u_t = 0$, was bedeutet, dass es keinen Fluss durch die Oberfläche und keine Geschwindigkeit entlang der Oberfläche gibt.

Das Weglassen des viskosen Terms führt dazu, dass nur die erste Ableitung enthalten ist$u$und so können wir nur eine Randbedingung erzwingen. Da der Körper nicht durchströmt werden kann, verzichten wir auf die Anforderung, dass die Tangentialgeschwindigkeit null ist – dies führt zur Randbedingung des Gleitens. Es ist jedoch physikalisch nicht korrekt, diese Gleitlinie stromabwärts der Hinterkante bestehen zu lassen. Die Kutta-Bedingung wird also benötigt, um die Geschwindigkeiten an der Hinterkante zur Übereinstimmung zu bringen, wodurch der diskontinuierliche Geschwindigkeitssprung stromabwärts beseitigt wird.

John Anderson Jr. erklärt in Fundamentals of Aerodynamics (Hervorhebung im Text):

... im wirklichen Leben sorgt die Natur dafür, dass die Strömung glatt an der Hinterkante abfließt, dh der Mechanismus, den die Natur verwendet, um die Strömung zu wählen ... besteht darin, dass die viskose Grenzschicht den ganzen Weg anhaften bleibt bis zur Hinterkante. Die Natur erzwingt die Kutta-Bedingung durch Reibung. Wenn es keine Grenzschicht (dh keine Reibung) gäbe, gäbe es in der realen Welt keinen physikalischen Mechanismus, um die Kutta-Bedingung zu erreichen.

Er entscheidet sich zu erklären, dass die Natur einen Weg gefunden hat, die Kutta-Bedingung durchzusetzen. Ich ziehe es vor, es andersherum zu sehen – die Kutta-Bedingung ist eine mathematische Konstruktion, die wir verwenden , um die Natur in unserer mathematischen Annäherung zu erzwingen.

Die falsche Erklärung

Die Erklärung dafür, dass der Fluss über die Spitze schneller gehen muss, um mit dem Fluss auf der Unterseite Schritt zu halten, wird als Prinzip des gleichmäßigen Durchgangs bezeichnet, und es ist wirklich keine gute Möglichkeit, das Problem darzustellen. Es ist kontraintuitiv, hat keine experimentelle Validierung und führt in den meisten Klassen, in denen es diskutiert wird, zu mehr Fragen als Antworten.

Fazit

Um all dies zusammenzufassen und Ihre Frage direkt zu beantworten: Ja, Flügel haben einen Auftrieb in inkompressibler (und komprimierbarer), nicht rotierender, reibungsfreier Strömung . Aber nur, weil die Potentialströmungsgleichungen eine mathematische Abstraktion sind und die Kutta-Bedingung ein mathematischer "Trick" ist, um eine Lösung zu finden, die unter diesen Bedingungen Auftrieb erzeugt. Natürlich wird nicht irgendein Flügel Auftrieb haben. Ein symmetrischer Flügel mit einem Anstellwinkel von null Grad hat keinen Auftrieb.

Der Auftrieb eines Tragflügels entsteht nicht durch eine asymmetrische Flügelform. Sie entsteht dadurch, dass die Richtung des Luftstroms umgelenkt wird. Diese Ablenkung nimmt die Form einer Verwirbelung um den Flügel an, aber das steht nicht im Widerspruch zu einer potentiellen Strömung.

Dieser Artikel zeigt deutlich, wie ein Wirbel drehungsfrei sein kann.

Dieses Bild im Wikipedia-Artikel über Potentialströmung zeigt einen Flügel, der in einer Potentialströmung Auftrieb erzeugt.

Hier ist die beste, wissenschaftlichste und zugänglichste Diskussion, die ich bisher gesehen habe, um zu erklären, wie Flügel funktionieren. Genießen!

Das Lösen der potenziellen Strömung um ein Schaufelblatt ohne die Joukovsky-Kutta-Bedingung sollte immer zu einer Nullzirkulation führen. Wenn wir nur die JK-Bedingung berücksichtigen, ist die Lösung anders; Wir haben die Viskosität implizit in das Problem aufgenommen, und die Zirkulation ist nicht unbedingt Null, auch wenn es keinen Viskositätsterm gibt!