Wie groß ist die Zeitkomponente der Geschwindigkeit eines Lichtstrahls?

Für ein masseloses Teilchen wie ein Photon müssen Sie einen neuen "affinen" Parameter verwenden$\lambda$anstatt die richtige Zeit zu verwenden$\tau$(Weil$d\tau = 0$). Dieser Parameter$\lambda$muss unter Lorentz-Transformationen ein Skalar, also eine Invariante sein.

Sie definieren die 4-Geschwindigkeit des Photons als:

$$u^\mu = \frac{d x^\mu}{d \lambda} \, (\mu = 0,1,2,3)$$

Hier$x^0 = c t$, Wo$c$ist die Lichtgeschwindigkeit, und$x^1, x^2, x^3$sind Raumkoordinaten:

Sie haben die Eigenschaft:

$$u_\mu u^\mu = g_{\mu\nu}u^\nu u^\mu = 0$$ , Wo $g$ist die Diagonalmatrix $(1, -1,-1,-1)$

Das könnte man auch einfach schreiben:

$$(u^0)^2 - \vec u ^2 = 0$$

Vielleicht ist es je nach Problem besser, den Photonenimpuls / Energie-Quadrivektor zu verwenden$p^\mu$, die die gleichen Gleichungen erfüllt:$p_\mu p^\mu = 0$, das ist :$(p^0)^2 - \vec p ^2 = 0$, Dies wird am besten angepasst, wenn Sie Impulserhaltungsbeziehungen mit mehreren Teilchen verwenden. Die gewöhnliche 3-Geschwindigkeit wird leicht erhalten$p$als$\vec v = \frac{\vec p }{p^0}$

Die Vier-Geschwindigkeit ist für Licht eigentlich nicht gut definiert. Dies liegt daran, dass die Vierergeschwindigkeit die Ableitung des Positionsvierervektors in Bezug auf die Eigenzeit ist , dh die Zeit im Ruhesystem des sich bewegenden Objekts. Da Sie für einen Lichtstrahl kein Trägheitsruhesystem auswählen können, können Sie die Ableitung in Bezug auf die Eigenzeit nicht bilden.

Mathematisch gesehen ist die Eigenzeit des Lichts Null. Um also die Ableitung des Positionsviervektors des Lichts in Bezug auf die Eigenzeit zu nehmen, würden Sie durch Null dividieren und Unendlich / Undefiniert zurückgeben (für alle Komponenten, einschließlich der Zeitkomponente).