Induktion der geschlossenen Summationsform

Question

Induktion der geschlossenen Summationsform

Induktion
Summe
Mathematik

Chris Degen

Auf Wikipedia wird die folgende geschlossene Form abgeleitet - Verallgemeinerte Formel

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Kann jemand erklären, wie die folgende geschlossene Form abgeleitet wird?

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Induktion der geschlossenen Summationsform

grauvater · Answer 1

Die erste ist eine ziemlich normale Übung. Lassen $S_k = \sum_{k=a}^b r^k$ . $\space$ Dann

R S_{k} = R \sum_{k = A}^{B} R^{k} = \sum_{k = A}^{B} R^{k + 1}

$rS_k = r\sum_{k=a}^b r^k = \sum_{k=a}^b r^{k+1}$ So

R S_{k} - S_{k} = (R^{A + 1} + R^{A + 2} + \dots + R^{B + 1}) - (R^{A} + R^{A + 1} + \dots + R^{B}) = R^{B + 1} - R^{A}

$rS_k-S_k = (r^{a+1}+r^{a+2}+ \dots + r^{b+1})- (r^{a}+r^{a+1}+ \dots + r^{b}) \\ = r^{b+1}-r^{a}$ und da

R S_{k} - S_{k} = S_{k} (R - 1)

$rS_k-S_k = S_k(r-1)$ wir haben genug, um das zu wissen

S_{k} (R - 1) = R^{B + 1} - R^{A} ⟹ S_{k} = \frac{R^{B + 1} - R^{A}}{R - 1}

$S_k(r-1)=r^{b+1}-r^{a} \\ \implies S_k = \frac{r^{b+1}-r^{a}}{r-1}$ Versuchen Sie, eine ähnliche Taktik anzuwenden, um die zweite Gleichheit abzuleiten, an der Sie interessiert sind, oder stecken Sie einfach ein

r = \frac{1}{\hat{r}}

$r = \frac{1}{\hat{r}}$ und lösen in Bezug auf

\hat{r}

$\hat{r}$ so dass es wie die zweite Gleichung aussieht.

$r^{-k} = \frac{1}{r^k}$ . Versuchen Sie, die Ersetzung vorzunehmen, die ich in meiner letzten Zeile erwähnt habe.
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grauvater

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