Ist dies ein korrektes Verständnis von Tsiolkovskys Raketengleichung?

Die Implikation der Raketengleichung ist, dass lineare Erhöhungen von ∆v exponentielle Erhöhungen des Massenverhältnisses für eine einzelne Stufe erfordern.

Es gibt nicht unbedingt ein maximales Delta-v - wenn Sie Ihr Diagramm auf einer logarithmischen Skala neu erstellen, werden Sie feststellen, dass es nicht vertikal verläuft.

Es ist schwierig, sehr hohe Massenverhältnisse (weit über 10:1) auf einer einzelnen Stufe zu erreichen, daher gibt es dort eine praktische ∆v-Grenze.

Mehrstufige Raketen können beliebig hohe Gesamtmassenverhältnisse erreichen (wenn Sie das Budget haben), sodass lineare Erhöhungen von ∆v einfach exponentielle Erhöhungen der Gesamtmasse erfordern.

Die Ableitung dieses Diagramms ist eine Massenänderungsrate in Bezug auf die Geschwindigkeitsänderungsrate. Sie gibt für eine Rakete an einem bestimmten Flugpunkt an, wie viel Treibmasse aufgewendet werden muss, um ihre Geschwindigkeit um einen bestimmten Betrag zu erhöhen; für eine Rakete auf dem Reißbrett gibt sie an, wie viel mehr Treibstoff mitgeführt werden muss, um ihre durch ∆v definierte Leistungsfähigkeit zu erhöhen.

Ich weiß nicht, ob es nützliche Interpretationen des Integrals gibt.

Ihre Frage bezieht sich auf das Verhalten der Tsiolkovsky-Raketengleichung selbst im Grenzfall einer sehr kleinen Endmasse ( Trockenmasse ). Grob gesagt: "Gibt es theoretisch eine Grenze für Delta-V? "

Verwendung von MathJax :

$$\Delta v=v_e \ln\frac{m_0}{m_f}.$$ Wenn Sie nur das Geschwindigkeitsverhältnis und das Massenverhältnis betrachten: $$\frac{\Delta v}{v_e}=\ln\frac{m_0}{m_f}=-\ln\frac{m_f}{m_0},$$ Sie können sehen, dass das eine nur das Protokoll des anderen ist. Log nimmt ewig zu, aber immer langsamer. Sie erreicht niemals eine Asymptote. Auf dem linearen Diagramm schießt es schnell nach oben, aber wenn Sie die x-Achse von linear auf logarithmisch ändern, steigt das Geschwindigkeitsverhältnis einfach weiter an.

klicken um zu vergrößern:

Wenn die Endmasse ein Milliardstel der Startmasse beträgt, können Sie ein Delta-v erhalten, das mehr als das 20-fache der Abgasgeschwindigkeit beträgt. Theoretisch.

Ich denke also, dass die Antwort auf Ihre Frage, nur aus mathematischer Sicht, basierend auf der Raketengleichung, nein lautet. Hier gibt es keine Begrenzung. Wenn Ihre Rakete aus reinem Treibstoff besteht, mit einer magischen masselosen Düse, kann sie sehr, sehr schnell fliegen!

Aber wie die anderen Antworten vermuten lassen, hat eine physische Rakete, die wir bauen und starten können, eine sehr reale (und bisher sehr teure) physikalische Grenze.

Hier ist etwas Python-Code für die Handlung:

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

mf_over_m0 = np.logspace(-0.5, -10, 20)

delta_v_over_ve = -np.log(mf_over_m0)

# that's it - the rest is just plotting @@!

fig = plt.figure(figsize=[16, 8])

xlab,   ylab   = "mf / m0",             "delta v / v exhaust"
title1, title2 = "x-axis linear scale", "x-axis log scale"

ax1 = plt.subplot(121, xlabel=xlab, ylabel=ylab, title=title1)
ax2 = plt.subplot(122, xlabel=xlab, ylabel=ylab, title=title2)

# from here: http://stackoverflow.com/a/14971193/3904031
for ax in [ax1, ax2]:
    for item in ([ax.title, ax.xaxis.label, ax.yaxis.label] +
                 ax.get_xticklabels() + ax.get_yticklabels()):
        item.set_fontsize(20)
    ax.invert_xaxis()

for ax in [ax1, ax2]:
    ax.plot(mf_over_m0, delta_v_over_ve, 'ok')
    ax.plot(mf_over_m0, delta_v_over_ve, '-b')
ax2.set_xscale('log')

plt.savefig("rocket equation question")
plt.show()

Nein, das ist nicht ganz richtig. Lassen Sie uns zunächst die Tsiolkovsky-Raketengleichung formulieren und beschreiben:

$\displaystyle \Delta v = V_e \times \ln(\frac{m_i}{m_f})$

$\Delta v$ist delta v, die Geschwindigkeitsänderung in km/s

$V_e$ist die effektive Abgasgeschwindigkeit in km / s (eine andere Möglichkeit, den spezifischen Impuls zu messen)

$\ln()$ist nur der natürliche Logarithmus oder die logarithmische Basis e (e ist eine interessante mathematische Konstante, die ungefähr 2,7 entspricht). Fast alle wissenschaftlichen und grafischen Berechnungen haben eine ln()-Funktion.

$m_i$und$m_f$sind Anfangs- und Endmasse in kg

Das Verhältnis der Massen ist genau das, ein Verhältnis. Wenn wir also mit 100 kg beginnen und mit 10 enden oder mit 1.000 kg beginnen und mit 100 enden, bleibt die Geschwindigkeitsänderung gleich. Dies setzt natürlich voraus, dass Ve sich auch nicht verändert hat.

Die Gleichung ist also im Grunde der natürliche Logarithmus eines Verhältnisses r, das dann mit einer Konstanten multipliziert wird. Um ein asymptotisches Verhalten zu analysieren, müssen Sie nur das Verhalten der natürlichen Logarithmusfunktion verstehen.

Gehen Sie zu fooplot.com und geben Sie „ln(x)“ ohne Anführungszeichen ein. Sie sehen eine schwarze Kurve. In diesem Diagramm heißt unser Verhältnis r jetzt x , und y repräsentiert das Delta v.

Ja, es gibt eine vertikale Asymptote auf der linken Seite , die mit der y-Achse selbst zusammenfällt. Dies würde einige wirklich seltsame Dinge über eine unbegrenzte negative Grenze von Delta v implizieren (so dass Sie mit einer negativen Geschwindigkeit unendlich schnell fahren könnten!) ... außer dass unser Verhältnis nicht kleiner als 1 sein kann ... weil die Anfangsmasse immer größer ist als endgültige Masse. Genau so funktionieren chemische Raketen. Sie verbrennen Masse und verlieren dadurch an Masse. Du beginnst immer mit mehr Kraftstoff als du aufhörst. Mathematisch ausgedrückt bedeutet dies, dass der Gültigkeitsbereich bei x > 1 beginnt. x <= 1 ist physikalisch einfach nicht möglich.

Jetzt sollten Sie feststellen, dass die Kurve nach rechts flacher wird. Sie fragen sich vielleicht, ob die Kurve eine horizontale Asymptote hat? Wenn dies der Fall ist, würde dies tatsächlich ein Maximum für Delta v festlegen, wie Sie vermuten. Aber die Antwort lautet: Nein, es gibt keine horizontale Asymptote im Diagramm. Die Kurve wird nach rechts immer höher und höher ... nur in flacheren und flacheren Winkeln.

Anders gesagt: Logarithmen verhalten sich exponentiell. Allerdings wird „exponentiell“ heutzutage sehr locker verwendet. Ich empfehle diese Terminologie nicht! Nur um Sie noch mehr zu verwirren, eine horizontale Asymptote wird auch als exponentieller Abfall bezeichnet! (von anderer Art).

Übrigens können Sie "ln (x)" mit Ve multiplizieren, was Sie wollen, und es wird das Verhalten des Diagramms nicht ändern. Faire Warnung: Wenn Sie eine typische Zahl eingeben, die reale Raketen verwenden, z. B. 3.000 (m / s), müssen Sie weit, weit hinauszoomen, um die Kurve zu sehen. Deshalb arbeite ich gerne in km/s, also multiplizierst du nur mit 3.

Fazit zur Gleichung: Es gibt kein maximales Delta v. Wenn Sie bereit sind, das Massenverhältnis exponentiell zu erhöhen, können Sie das Delta v linear auf einen beliebigen hohen Wert erhöhen. Dies bedeutet jedoch nicht, dass es physikalisch möglich ist. Natürlich gibt es technologische Grenzen dafür, wie viel Schub, Hitze und andere Dinge wir in unserer Rakete kontrollierbar erreichen können.

Du hast auch nach Ableitung und Integral gefragt. Sie haben in Ihrem zweiten Absatz auch die Umkehrung der Tsiolkovsky-Raketengleichung erwähnt. Ich werde versuchen zu erklären, was diese in einer zukünftigen Bearbeitung bedeuten.