Warum dreht sich ein Körper immer um seinen Schwerpunkt? [Duplikat]

Vermutlich wissen Sie bereits, dass sich der Schwerpunkt jeder Ansammlung von Teilchen ohne äußere Kräfte mit konstanter Geschwindigkeit bewegt. Dies gilt unabhängig davon, ob sie in einem einzigen Körper zusammengeklebt sind oder nur ein Haufen separater Körper mit oder ohne Wechselwirkungen zwischen ihnen sind. Wir bewegen uns nun zu einem Bezugssystem, das sich mit dieser Geschwindigkeit bewegt. In diesem Rahmen ist das CofM stationär.

Nehmen wir nun an, dass die Teilchen tatsächlich zu einem starren Körper verklebt sind. Wir sehen, dass sich der Körper bewegt, so dass: 1) das CofM fest bleibt, 2) alle Abstände zwischen den Teilchen fest sind. (Diese zweite Bedingung ist gemeint mit a$rigid$Körper doch).

Eine Bewegung mit diesen beiden Eigenschaften (1) und (2) ist genau das, was mit dem Ausdruck "eine Drehung um den CofM" gemeint ist.

Hier ist eine weitere Möglichkeit, dies zu betrachten:

Sie können ein Objekt mit beliebiger Form als einen einzelnen Punkt betrachten, an dem die gesamte Masse des Objekts konzentriert ist. Dieser Punkt wird Massenmittelpunkt genannt. Da keine Kraft auf das Objekt wirkt, muss sich der Massenmittelpunkt gemäß dem zweiten Newtonschen Gesetz entweder in einer geraden Linie bewegen oder stationär sein. Wenn sich der Körper dreht, kann der Massenmittelpunkt diesem Gesetz nur gehorchen, wenn die Rotation um den Massenmittelpunkt erfolgt.

Stellen Sie sich zwei Steine ​​vor, die mit einem masselosen Stab zusammengebunden sind, und lassen Sie einen Stein um den zweiten drehen, der fixiert wird.

In diesem Fall muss es eine Kraft geben, die den ersten Stein senkrecht zu seiner Geschwindigkeit beschleunigt und ihn dazu bringt, sich um den zweiten zu drehen. Der gesamte Aufbau ist frei, es gibt also keine Gegenkraft auszugleichen und dieser Aufbau verstößt gegen die Newtonschen Gesetze.

Wenn wir diesen Stein-Stab-Stein-Körper gemäß den Newtonschen Gesetzen drehen wollen, müssen wir einen beliebigen Punkt hinzufügen, um den er sich drehen wird. In diesem Fall drehen sich beide Steine ​​um diesen Punkt, auf beide wirkt eine radiale Kraft und sie haben eine entgegengesetzte Richtung. Die Kräfte müssen sich vollständig aufheben und sie heben sich nur auf, wenn der beliebige Punkt genau im Massenmittelpunkt liegt.

Dass ein Körper bei freier Drehung um seinen Massenmittelpunkt rotiert, liegt daran, dass der Trägheitstensor im Massenmittelpunkt minimal ist. Wenn Sie sich um einen beliebigen Punkt drehen, der nicht der Massenmittelpunkt ist, müssen Sie den Parallelachsensatz anwenden.

Das Minimum dieser Gleichung ist, wenn der Radius vom Massenmittelpunkt zur Rotationsachse Null ist. Daher ist der Massenmittelpunkt der Drehpunkt, der der Drehung den geringsten Widerstand entgegensetzt.

Tatsächlich verschiebt sich das momentane Rotationszentrum nicht sofort zum Massenmittelpunkt des Objekts, sobald die äußeren Kräfte aufhören, auf das Objekt einzuwirken. Stellen Sie sich vor, Sie haben eine Schüssel und lassen einen Ball hineinfallen, sodass sich der erste Kontaktpunkt in der Nähe des Randes befindet. Der Ball tendiert zum Boden der Schüssel, da dies der Ort mit dem niedrigsten Gravitationspotential ist. Bevor es dort ankommt, schwingt es jedoch ein wenig, bevor es zur Ruhe kommt. Der Boden der Schüssel ist ein stabiler Punkt.

Dies ist analog zu unserer Rotation. Der Punkt, um den sich das Objekt dreht, ist anfänglich vom Massenmittelpunkt versetzt. Mit fortschreitender Zeit tendiert es jedoch zum Massenmittelpunkt, da es versucht, den Weg des geringsten Widerstands zu finden. Die Drehung um den Massenmittelpunkt bietet diesen geringsten Widerstand.

Ich bin kein Physiker, aber ich werde es versuchen.

Ein vereinfachtes Beispiel für Ihre sich drehende Kugel, die Ihnen bei diesem Konzept helfen könnte, wäre eine Scheibe, die aus einer einzigen Materialdichte besteht. Ein Beispiel wäre ein Kinderkreisel oder ein Kreisel, den Sie auf einer ebenen Fläche drehen können. Jeder Teil der Scheibe hat ein passendes Ausgleichsteil auf der gegenüberliegenden Seite der Scheibe. Jedes ausgleichende Paar von Teilen der Scheibe hat die gleiche Masse, hat beim Drehen entgegengesetzte Bewegungen und erzeugt entgegengesetzte ausgleichende Zentripetalkräfte, die die Drehung der Scheibe um den Massenmittelpunkt (der auch das geometrische Zentrum der Scheibe ist) im Gleichgewicht halten. .

Wenn Sie der Scheibe irgendwo außer in der Mitte mehr Masse hinzufügen, verschiebt sich der Massenmittelpunkt der Scheibe weg vom geometrischen Mittelpunkt der Scheibe und hin zu der gerade hinzugefügten Masse. Das Objekt dreht sich nun um diesen neuen Massenmittelpunkt. Dies liegt daran, dass die gesamte Masse auf der Seite, die von der neu hinzugefügten Masse abgewandt ist, eine ausgleichende Gegenkraft zu der jetzt schwereren Seite der Scheibe erzeugen muss. Die Masse der Scheibe zwischen dem geometrischen Mittelpunkt der Scheibe und dem neuen (verschobenen) Massenmittelpunkt verschiebt sich zu der entgegengesetzten Ausgleichskraft zur hinzugefügten Masse.

Das folgende Bild kann Ihnen helfen, dies zu veranschaulichen:

Der grüne Punkt rechts ist der ursprüngliche Massenschwerpunkt und Mittelpunkt der Scheibe. Der blaue Kreis ist eine hinzugefügte Masse. Der grüne Punkt links ist der neue Massenmittelpunkt. Der Bereich zwischen den beiden roten Linien ist Masse auf der Scheibe, die die hinzugefügte Masse beim Drehen ausgleicht. Das Hinzufügen von mehr (blauer) Masse verschiebt den Massenmittelpunkt weiter vom ursprünglichen Zentrum und verschiebt die linke rote Linie (und den Massenmittelpunkt) weiter in Richtung der hinzugefügten Masse (links). Wenn die ursprüngliche Scheibe relativ zur hinzugefügten Masse sehr massiv war, verschiebt sich der Massenschwerpunkt nicht so weit (dh weniger Fläche zwischen den roten Linien wird benötigt, um die neue Masse auszugleichen, und weniger Verschiebung des Massenschwerpunkts, um die hinzugefügte Masse auszugleichen ).

Zusammenfassend lässt sich sagen, dass jedes Mal, wenn Sie die Masse eines rotierenden Objekts addieren (oder davon subtrahieren), das Objekt die Position seines Rotationszentrums ändert, sodass die durch die Rotation verursachten Kräfte im Gleichgewicht bleiben. Der Rotationspunkt ist das Zentrum der gesamten Masse dieses Objekts.

Ich dachte, dass die Bewegung um den COM am stabilsten ist und die Rotation um andere Punkte degeneriert. Ich denke nicht, dass es richtig ist. Ist es ?

Lassen Sie uns für eine Sekunde damit fortfahren. Ich bin mir nicht sicher, ob der Begriff "degeneriert" es hier ganz richtig macht, aber ich denke, Sie sind auf dem richtigen Weg. Stellen Sie sich ein perfekt ausgewuchtetes Rad an einem Auto vor. Seine Rotation ist nicht frei, sondern in seinem Zentrum fixiert, das auch sein Massenmittelpunkt ist (weil es ausbalanciert ist). Wenn es sich dreht, wirkt keine Kraft auf die Achse.

Überlegen Sie nun, was passiert, wenn wir ein Gewicht an der Felge des Rades befestigen und es aus dem Gleichgewicht bringen. Wenn sich das Rad dreht, werden jetzt Kräfte auf die Achse ausgeübt. Wenn Sie jemals in einem Fahrzeug in einer solchen Situation gefahren sind, werden Sie dies bei den meisten Geschwindigkeiten als Vibration spüren, wenn das Rad ständig „springt“. Warum passiert das? Das liegt daran, dass die Achse das Rad dazu zwingt, sich um einen Punkt zu drehen, der nicht sein Massenmittelpunkt ist. Mit anderen Worten, nur die Drehung um den Massenmittelpunkt ist neutral; Damit sich ein Objekt um einen anderen Punkt dreht, ist eine andere Kraft erforderlich, um es an Ort und Stelle zu halten. Per Definition unterliegt ein „freies“ Objekt keiner solchen Kraft.

Eine Möglichkeit, dies zu sehen, besteht darin, eine Frisbeescheibe zu nehmen und sie um einen Finger innerhalb der Felge zu drehen. Es dreht sich um Ihren Finger (der sich nicht im Zentrum seiner Masse befindet). Ihre Muskeln müssen der Bewegung ständig widerstehen, um es an Ort und Stelle zu halten. Wenn Sie Ihren Finger plötzlich wegnehmen, fliegt er in einer geraden Linie davon und dreht sich weiter um seinen Schwerpunkt.

Da das Trägheitsmoment beim Drehen um den Massenmittelpunkt minimal ist, wird jede auf den Körper ausgeübte Kraft den "Pfad" des minimalen Widerstands "durchlaufen".

Im Grunde ist es der Punkt, an dem die Summe aller Impulse minimal ist.

Auch Wasser und elektrischer Strom fließen durch Pfade mit minimalem Widerstand. Ich wollte absichtlich eine kurze Antwort geben, weil ich denke, dass die alternative Antwort nur ein "Zeigen Sie die Berechnungen" ist, was nicht sehr intuitiv ist.

Tatsächlich rotiert ein Festkörper nicht um einen Punkt (COM), sondern um eine Achse, auf der die COM liegt.

Beispielsweise liegen in einer festen, gleichförmigen Kugel (jeder Körper mit ungleichmäßiger Massenverteilung kann sich stetig in eine Kugel mit gleicher gleichmäßig verteilter Masse verwandeln) die einzigen Punkte, die um die COM rotieren, in der Äquatorebene senkrecht zur Drehachse. Alle anderen Punkte rotieren um einen anderen Punkt auf der Rotationsachse.

Lässt man die Kugel von Winkelgeschwindigkeit null auf eine Winkelgeschwindigkeit x rotieren, ohne der Kugel einen linearen Impuls zu verleihen, kann der lineare Impuls nur dann erhalten bleiben, wenn alle Momente der dms (unendlich kleine Massen, wenn wir die Kugel als kontinuierlich betrachten Masse) heben sich auf, was der Fall ist, wenn die COM auf der Rotationsachse liegt. Wenn Sie verschiedene Rotationsachsen betrachten, haben sie natürlich den COM-Punkt gemeinsam.

Für zwei getrennte Körper, die durch eine Anziehungskraft wie die Schwerkraft begrenzt sind, kann man sagen, dass sich die Körper um die COM der beiden Körper drehen. Wie zwei durch ein Seil verbundene Massen, aber ohne Seil. In diesem Fall erfolgt die Rotation ebenfalls um die Rotationsachse (senkrecht zur Rotationsebene), aber auch um den COM-Punkt.

Ich verstehe dies eher als ein mathematisches oder psychologisches Phänomen als als ein physikalisches.

Ein Objekt kann sich um jede beliebige Achse drehen. In dem Fall jedoch, in dem die Achse nicht durch den Schwerpunkt verläuft, würden wir diese Bewegung typischerweise in eine Bewegung des Schwerpunkts des Objekts zerlegen, kombiniert mit einer Bewegung um den Schwerpunkt herum. Sie können dies immer tun. Fragen Sie einfach "Wie hat sich der Schwerpunkt bewegt?" und subtrahieren Sie diese Bewegung von der Bewegung jedes Stücks. Die verbleibende Bewegung ist definitionsgemäß eine Drehung um den festen Schwerpunkt.

Wir müssen die Bewegung nicht auf diese Weise aufschlüsseln. Zufälligerweise wissen wir (in der Newtonschen Mechanik), wie man mit Impuls und Drehimpuls getrennt umgeht. Unterschiedliche Zerlegungen wären möglich. Aber sie wären mit ziemlicher Sicherheit komplexer und weniger intuitiv. Nehmen wir zum Beispiel an, dass der Drehimpuls immer zu einer zusätzlichen „linearen Kraft“ führt, die gerichtet ist und von der Beziehung zwischen der Massenverteilung und der Achse abhängt. Es wäre viel schwieriger zu verstehen, woraus es tatsächlich bestand. Wir sind es gewohnt, Dinge um ihren Schwerpunkt zu drehen.

Wenn Sie Newtonsche Drehmomentprobleme lösen, müssen Sie normalerweise einen Punkt mit Bedacht auswählen, um Drehmomente zu lösen. Die Lösung wäre die gleiche, aber die Technik ist viel einfacher, wenn man den richtigen Punkt wählt, bei dem sich möglichst viele Kräfte aufheben. „Schwerpunkt“ ist nur die Standardheuristik für den allgemeinen Fall dieses Problems.

Um das Paar um die Schwerpunktachse gleichmäßig verteilt zu machen, damit sich der Körper drehen kann. Da die Rotation selbst als Rotationsachse definiert ist und der Schwerpunkt auf derselben Linie liegen sollte, dreht sie sich sonst um die Rotationsachse.
Der andere Grund ist, dass die Rotation aufrechterhalten werden kann.