Wie hat Newton die Erhaltungsgesetze in den Principia aufgestellt?

Newton schrieb die Principia in den Jahren 1684-1686. Zu dieser Zeit hätte er nicht erwartet, dass irgendein Leser in Europa (mit Ausnahme einiger weniger Freunde) die Methode der Fluxionen (Kalkül) kannte, die er nie veröffentlicht hatte. Um sein Werk verständlich zu machen, musste er es schreiben, ohne die Techniken oder die Notation von Fluxionen zu verwenden. (Leibniz' erste Veröffentlichung der Techniken der Infinitesimalrechnung erfolgte erst 1684, daher hätte Newton auch nicht erwartet, dass viele seiner Leser mit den Ideen von Leibniz vertraut sein könnten, und auf jeden Fall hätten Leser, die Leibniz' Notation kannten, Newtons nicht verstanden. )

Newton verstand klar, was wir heute Vektoren nennen würden, wie Sie deutlich an den Principia erkennen können . Auf den Seiten 84-86 stellt er vor, was wir heute als Parallelogrammmethode der Vektoraddition bezeichnen würden (Kor. I), und stellt fest, dass der Impulsvektor erhalten bleibt (Kor. III). Dass er den viel später erfundenen Begriff "Vektor" nicht verwendet, ist irrelevant.

Er diskutiert die Energieerhaltung nicht, weil die Energieerhaltung erst im 19. Jahrhundert entdeckt wurde. Im 17. Jahrhundert gab es keine Vorstellung vom mechanischen Äquivalent von Wärme, und thermische Energie wurde nicht als kinetische Energie der zufälligen Bewegung von Molekülen verstanden. In dieser Zeit war die Phlogiston-Theorie brandneu.

In Principia präsentiert Newton ein Bild, das eher auf Kräften als auf Energie und Impuls basiert, und ihm standen die Konzepte des Vektors und der mechanischen Energie nicht zur Verfügung. Darüber hinaus widersetzte sich Newton aus philosophischen Gründen der Idee von Leibniz, die kinetische Energie ("vis viva") in den Mittelpunkt der Dynamik zu stellen , weil er Kräfte für grundlegender hielt. Zu dieser Zeit gab es keine Vorstellung von potentieller Energie, und einige der in Principia behandelten Kräfte, wie der Luftwiderstand, sind nicht potentiell, so dass, wenn sie wirken, nicht einmal die gesamte mechanische Energie erhalten bleibt.

Die Erhaltung der kinetischen Energie und des Impulses wurde damals hauptsächlich im Zusammenhang mit elastischen Stößen betrachtet, und es gab "vis viva-Kontroversen" darüber, welche von ihnen die "wahre" Bewegungsgröße war. Keines konnte zu dieser Zeit als universelles Gesetz angesehen werden, da die Natur der Wärme nicht verstanden wurde und rahmenabhängige Komponenten eines Vektors kein Gegenstand waren. Tatsächlich arbeitete Newton mit zwei verschiedenen Vorstellungen von Impulsen , Masse mal Geschwindigkeit, die auf Descartes zurückgehen, und der modernen, aber nur in Bezug auf Komponenten. Er stellt ausdrücklich fest, dass die kartesische "Bewegung erhalten oder verloren werden kann" und leitet die Erhaltung der Komponenten aus dem dritten Bewegungsgesetz ab: "

In Vorwegnahme der modernen Sichtweise charakterisierte Boscovich 1745 vis viva als das Maß der Kraft, die über eine Entfernung wirkt, und den Impuls als das Maß einer Kraft, die über eine Zeit wirkt, und D'Alembert nahm diese Charakterisierung in die zweite Ausgabe seiner Traite de auf Dynamik (1758). Aber weder das Konzept eines Vektors noch der allgemeine Begriff der Energie, der erforderlich ist, um den Erhaltungssätzen in der Physik eine zentrale Bedeutung zu verleihen, tauchte bis zum 19. Jahrhundert auf.

Was die Verwendung von Kalkül betrifft, gibt es Hinweise darauf, dass Newton Principia ursprünglich in Bezug auf die euklidische Geometrie ausgearbeitet und erst nach der ersten Veröffentlichung mit Kalkül verbunden hat. Die Umwandlung von Principia in die Kalkülnotation wurde von Euler in Mechanica (1736) durchgeführt. Lagrange führte in Mecanique Analytique (1788) die potentielle Energie ein (ohne den Namen, der 1853 von Rankine vorgeschlagen wurde) und leitete die Erhaltung der mechanischen Energie explizit aus Eulers Umformulierung im Wesentlichen auf moderne Weise ab. Modernisierung der Notation, Newtons zweites Gesetz$m_i\frac{d^2x_i}{dt^2}=-\frac{\partial U}{\partial x_i}$, Wo$U$das Potential der Kräfte ist, wird auf beiden Seiten mit multipliziert$\frac{dx_i}{dt}$und über die (verallgemeinerten) Koordinaten summiert. Unter Verwendung der Produktregel auf der linken Seite, der Mutivariablen-Kettenregel auf der rechten Seite und dem Verschieben von allem nach links ergibt sich: