Warum verwenden wir dimensionslose Ausdrücke in der Flugmechanik und Aerodynamik?

Hier ist eine Dimensionsgleichung:

Durch die Arbeit im dimensionslosen Bereich können Ingenieure an einer verallgemeinerten Form des Problems arbeiten. Dies war besonders hilfreich in der Zeit vor Computern: Die komplexe Berechnung, um zu einem Koeffizienten zu gelangen, war nur einmal erforderlich, und die Berechnung des Dimensionswerts daraus war trivial.

Auch beim Vergleich zwischen verschiedenen Flugzeugen oder zwischen Windkanalmodellen und der Realität sind die Zahlen mit dimensionslosen Koeffizienten sehr ähnlich, was es viel besser ermöglicht, Ergebnisse auf Fehler zu überprüfen oder erste Annahmen über ein neues Design zu treffen.

Es gibt jedoch zwei Nachteile:

1. Sie müssen die Referenzwerte kennen! Es kann leicht vermasselt werden, zB bei der Kombination von Werten aus Flügel und Leitwerk, die jeweils auf ihre jeweilige Fläche bezogen sind. Während der Auftrieb sofort addiert werden kann, müssen die Auftriebsbeiwerte zunächst auf einen gemeinsamen Referenzwert umgerechnet werden.
2. Manchmal kann das Denken in Koeffizienten irreführend sein: Denken Sie nur an den induzierten Luftwiderstand. Wenn es in dimensionslosen Koeffizienten wie diesem geschrieben wird $$c_{Di} = \frac{c_L^2}{\pi\cdot AR}$$ Es sei Ihnen verziehen zu denken, dass der induzierte Luftwiderstand mit zunehmendem Seitenverhältnis abnimmt . Aber das ist falsch ! Jetzt das gleiche nochmal mit den Maßen: $$D_i = \frac{L^2}{\frac{\rho}{2}\cdot v^2\cdot\pi\cdot b^2}$$ Dies zeigt, dass der induzierte Widerstand bei gleicher Geschwindigkeit umgekehrt proportional zur Spannweitenbelastung ist, der Menge an Auftrieb, die pro Spannweiteneinheit erzeugt wird.

Apropos Aerodynamik: Mit dimensionslosen Beiwerten (zB für Auftrieb und Widerstand) lassen sich für jedes Profil und seine Eigenschaften für unterschiedliche Strömungsrichtungen Aussagen unabhängig von Profil, Körpergröße und Staudruck machen. Das ermöglicht den Vergleich verschiedener Profile und Tragflächen - in der Flugmechanik oder Aerodynamik ist es oft interessanter, Tragflächen zu vergleichen und die besten zu ermitteln, als exakte Kräfte zu berechnen).

Wie Stefan auch schrieb, ist es in der Wissenschaft Ihr Ziel, zB die Dimensionen Ihres Experiments zu ignorieren, um es mit anderen Ergebnissen vergleichen zu können (in Bezug auf die Ähnlichkeitstheorie, die auch dimensionslose Zahlen verwendet). Mit den gesammelten dimensionslosen Daten ist es auch viel einfacher, Theorien unabhängig von jedem Einheitensystem zu entwickeln. Darüber hinaus sind die Größen der Fluiddynamik oft mit Potenzgesetzen verbunden. Diese sind viel einfacher mathematisch korrekt zu handhaben, wenn Sie die Einheiten bereits losgeworden sind. Wenn Sie die Theorie schließlich auf ein bestimmtes technisches Problem anwenden, können Sie Ihre Dimensionen usw. erneut einführen, um das Ergebnis zu erhalten.

Ich möchte diese Frage aus historischer Perspektive beantworten.

Dimensionslose Zahlen werden in der Fluiddynamik viel stärker verwendet als in anderen Ingenieurdisziplinen. Für die Strukturmechanik werfen wir gerne Parameter wie Elastizitätsmodul, Dichte, Trägheitsmomente umher und erwarten, dass die Leute wissen, was diese Zahlen bedeuten, obwohl sie auf verschiedenen Skalen völlig unterschiedlich funktionieren. Wir wissen ungefähr, wie die Dinge in einfachen Objekten skalieren, und ob wir ein Fahrwerk oder einen Flügel berechnen, das Balkenbiegungsproblem ist ungefähr dasselbe.

Nicht so in der Strömungsdynamik. Natürlich hatten Navier-Stokes, Bernoulli und Freunde schon vor langer Zeit die maßgeblichen Gleichungen für die Fluiddynamik herausgefunden, aber ihre Anwendbarkeit ist viel eingeschränkter als beispielsweise das Hookesche Elastizitätsgesetz. In der Strukturmechanik kann man davon ausgehen, dass der Flügel vor und nach dem Biegen ungefähr gleich aussieht, aber in der Strömungsdynamik sagen die Anfangsbedingungen und die Geometrie nichts über das Endergebnis aus, und eine kleine Störung auf einer Seite kann die Ergebnisse auf der Seite vollständig verändern Andere Seite.

Heutzutage können wir CFD-Werkzeuge (Computational Fluid Dynamics, „Computersimulation“) verwenden, um von einer Reihe von Anfangsbedingungen und (dimensionalen) Eigenschaften zu einem Endergebnis zu gelangen. In "alten Zeiten" wurden Windkanäle ausgiebig genutzt. Da diese Dinge teuer zu bauen und zu warten und ohne Computer in großem Maßstab schwer herzustellen sind, wurden sie im Allgemeinen recht klein gehalten. Infolgedessen waren Skalierungswerkzeuge sehr wichtig – was sagen uns kleine Ergebnisse über das endgültige Design aus?

Wie sich herausstellt, sind dimensionslose Zahlen sehr nützlich für die Skalierung. Da sie nicht vom verwendeten Einheitensystem abhängen, kann man daraus schließen, dass sie nicht vom Umfang des Problems abhängen – die Zahl sollte dieselbe sein, egal ob wir ein fußlanges oder ein meterlanges Modell verwenden. Die Strömung wird turbulent, wenn$Re>2300$(durch Annäherung - Sie werden je nach Anwendung unterschiedliche Werte finden), und dies sagt uns, dass wir, wenn wir ein kleines Modell haben, das wir in der Nähe einer Reynolds-Zahl von 1000 testen und alles in Ordnung zu sein scheint, daraus schließen können, dass dies auch für das Finale gilt Flugzeug, wenn die Reynolds-Zahl für dieses Design etwa 1000 beträgt.

Sie werden feststellen, dass dimensionslose Zahlen im Computerzeitalter weniger interessant sind (warum durch all diese Reifen springen, um alle Einheiten herauszubekommen, wenn Sie es einfach an den Computer anschließen können) - für Disziplinen, in denen FEM usw. allgegenwärtig ist, werden Sie es nur tun sehen Sie sie als Berechnung auf der Rückseite des Umschlags verwendet. In der Fluiddynamik sollte ich damit rechnen, dass sie noch etwas länger bleiben, bis CFD leistungsfähig genug wird, um große Modelle innerhalb sehr kurzer Zeitspannen problemlos zu berechnen.