Wie wird der induzierte Widerstand für einen Flügel mit elliptischer Grundrissform berechnet?

Der induzierte Luftwiderstand wird durch die nach unten gerichtete Ablenkung der um den Flügel strömenden Luft verursacht. Die resultierende aerodynamische Kraft wird um den halben Ablenkwinkel nach hinten geneigt, und die Luft strömt mit einer zusätzlichen vertikalen Geschwindigkeitskomponente vom Flügel ab, wodurch ein Abwind entsteht . Das Erhöhen des Downwash-Winkels bedeutet, sowohl den Auftrieb als auch die Rückwärtsneigung zu erhöhen, sodass der induzierte Widerstand mit dem Quadrat des erzeugten Auftriebs steigt.

Wenn Sie den induzierten Widerstand für einen gegebenen Auftrieb minimieren möchten, bedeutet diese quadratische Abhängigkeit, dass das Optimum erreicht wird, wenn der Abwindwinkel über die Spannweite konstant ist.

Wie wird der induzierte Widerstand für einen Flügel mit elliptischer Grundrissform berechnet?

Der elliptische, nicht verdrehte Flügel hat den gleichen Anstellwinkel und den gleichen Auftriebskoeffizienten über die Spannweite und erzeugt den gewünschten konstanten Abwindwinkel. Nehmen wir der Einfachheit halber an, dass der Flügel nur mit der Dichte auf die Luft einwirkt$\rho$mit der Geschwindigkeit fließen$v$durch einen Kreis mit einem Durchmesser gleich der Spannweite$b$des Flügels. Wenn wir uns nur dieses Stromrohr ansehen, ist der Massenstrom

$$\frac{dm}{dt} = \frac{b^2}{4}\cdot\pi\cdot\rho\cdot v$$

Aufzug$L$ist dann die Impulsänderung, die durch den Flügel verursacht wird. Mit der abwärts gerichteten Luftgeschwindigkeit$v_z$vom Flügel vermittelt, ist der Auftrieb:

$$L = \frac{b^2}{4}\cdot\pi\cdot\rho\cdot v\cdot v_z = S\cdot c_L\cdot\frac{v^2}{2}\cdot\rho$$

$S$ist die Flügelfläche und$c_L$der Gesamtauftriebsbeiwert. Wenn wir jetzt nach der vertikalen Luftgeschwindigkeit auflösen, erhalten wir

$$v_z = \frac{S\cdot c_L\cdot\frac{v^2}{2}\cdot\rho}{\frac{b^2}{4}\cdot\pi\cdot\rho\cdot v} = \frac{2\cdot c_L\cdot v}{\pi\cdot AR}$$ mit $AR = \frac{b^2}{S}$das Seitenverhältnis des Flügels. Jetzt können wir die vertikale Geschwindigkeit durch die Luftgeschwindigkeit teilen, um den Winkel zu berechnen, um den die Luft vom Flügel abgelenkt wurde. Nennen wir es $\alpha_w$: $$\alpha_w = arctan\left(\frac{v_z}{v}\right) = arctan \left(\frac{2\cdot c_L}{\pi\cdot AR}\right)$$

Die Ablenkung erfolgt allmählich entlang der Flügelsehne, sodass der mittlere lokale Strömungswinkel entlang der Sehne gerade ist$\alpha_w / 2$. Der Auftrieb wirkt senkrecht zu dieser lokalen Strömung, wird also nach hinten gekippt$\alpha_w / 2$. In Koeffizienten ist der Auftrieb$c_L$, und die Rückwärtskomponente ist$\alpha_w / 2 \cdot c_L$. Nennen wir diese Komponente$c_{Di}$:

$$c_{Di} = arctan \left(\frac{c_L}{\pi\cdot AR}\right)\cdot c_L$$

Für klein$\alpha_w$s kann der arcus tangens vernachlässigt werden, und wir erhalten diese vertraut aussehende Gleichung für die rückwärts gerichtete Komponente der Reaktionskraft:

$$c_{Di} = \frac{c_L^2}{\pi\cdot AR}$$

Wenn die Zirkulation über die Spannweite eine elliptische Verteilung hat, ist die lokale Zirkulationsänderung multipliziert mit der lokalen Zirkulationsmenge konstant und der induzierte Widerstand konstant$c_{Di}$ist auf dem Minimum. Wenn dies anders wäre, ein höheres Lokal$v_z$verursacht eine quadratische Erhöhung des lokal induzierten Widerstands, sodass der gesamte Flügel seinen Auftrieb weniger effizient erzeugt.

Ist diese Flügelform die effizienteste?

Nur wenn Sie einen Aerodynamiker fragen, lautet die Antwort ja. Ein elliptischer Flügel bietet Ihnen das beste Verhältnis von Auftrieb zu Widerstand, was eindeutig eine Möglichkeit ist, Effizienz auszudrücken.

In Wirklichkeit muss sich der Flügel selbst plus eine Nutzlast heben, aber bei der Formulierung der Effizienz sollte nur das Heben der Nutzlast berücksichtigt werden. Daher ist eine reine Auftriebs-/Widerstandsoptimierung zu eng. Was zählen sollte, ist das beste Verhältnis von Auftrieb minus Flügelgewicht im Verhältnis zum Luftwiderstand. RT Jones schrieb bereits 1950 eine NACA Technical Notein dem er dieses Problem analytisch betrachtete. Das Flügelgewicht steigt, wenn in der Nähe der Spitzen viel Auftrieb erzeugt wird, da dieser Auftrieb ein überproportionales Wurzelbiegemoment verursacht und der Flügelholm, der dieses Biegemoment tragen muss, ein wesentlicher Teil der Flügelstruktur ist. Daher wird das Reduzieren des Auftriebs an den Spitzen und das Hinzufügen von mehr Auftrieb an der Wurzel einen leichteren Flügel für eine bescheidene Erhöhung des Luftwiderstands erzeugen, was zu einem Gesamtoptimum für eine fast dreieckige Auftriebsverteilung führt. Im Vergleich zu einem elliptischen Flügelplan ist die gesamte Flügelspannweite eines solchen optimierten Flügels bei gleichem Gesamtwiderstand größer, aber dieser Flügel wiegt weniger.

Spannweitenbezogener Belastungsvergleich für Flügel mit demselben festen Auftrieb aus NACA Technical Note 2249.

Aber das ist zu einfach. Skalierungsgesetze müssen zusätzlich berücksichtigt werden. Sie wissen, dass Elefanten im Verhältnis zu ihrer Körpergröße viel massivere Beine haben als Antilopen (oder sogar Ameisen, für einen noch drastischeren Vergleich), da die Körpermasse mit dem Würfel der linearen Dimension skaliert, während die strukturelle Stärke nur mit dem Quadrat der linearen Dimension skaliert . Dies bedeutet, dass das Flügelholmgewicht für größere Flugzeuge proportional höher ist.

Infolgedessen haben Insekten mehr elliptische Flügel als Albatrosse, und Modellflugzeuge haben optimale Flügel, die viel elliptischer sind als die optimalen Flügel eines Verkehrsflugzeugs. Das Optimum verschiebt sich von einer elliptischen Lastverteilung bei sehr kleinen Maßstäben zu einer nahezu dreieckigen Verteilung bei großen Maßstäben.

Für einen Flügel mit elliptischer Spannweite kann der induzierte Widerstand direkt aus dem Auftriebsbeiwert berechnet werden. Der induzierte Luftwiderstandsbeiwert$C_{D_{i}}$kann berechnet werden als,

$C_{D_{i}} = \frac{C_{L}^{2}}{\pi A}$

wo$C_{L}$ist der Auftriebskoeffizient und$A$ist das Seitenverhältnis.

Eine elliptische Belastung erzeugt den minimalen induzierten Widerstand gemäß der Auftriebslinientheorie, wenn nur die Spannweite und der Auftrieb berücksichtigt werden . Wenn andere Überlegungen ins Spiel kommen (wie das Flügelbiegemoment), variiert die effizienteste Form.

Warum die beste Verteilung elliptisch ist, können die Gleichungen leicht aus der Hebelinientheorie abgeleitet werden; im Grunde liegt dies daran, dass der Abwind entlang der Spannweite konstant ist. Eine gute Begründung dafür findet sich in The Minimum Induced Drag of Airfoils von Max Munk, NACA Report No. 121.

Wenn die Verteilung am besten ist, kann der Widerstand nicht verringert oder erhöht werden, indem ein Auftriebselement von seiner alten Position in eine neue Position gebracht wird. Nun setzt sich der Anteil eines Elementes in der Schleppe aus zwei Teilen zusammen. Es trägt dazu bei, in der Nähe anderer Auftriebselemente einen Abwind zu erzeugen und folglich deren Widerstand zu ändern. Es hat selbst einen Luftwiderstand, da es sich im Abwind befindet, der von den anderen Elementen erzeugt wird.

... Bei der Auftriebsgeraden sind die beiden Abwinde, die jeweils von einem Element in der Nachbarschaft des anderen erzeugt werden, gleich groß. Aus diesem Grund sind auch die beiden vom jeweils anderen erzeugten Widerstände der beiden Elemente gleich und damit die beiden Teile des gesamten Widerstands der Flügel aufgrund eines Elements. ... daher bleibt der gesamte Widerstand eines Elements unverändert, wenn das Element von einer Situation in eine neue mit demselben Abwind übertragen wird, und die Verteilung ist nur dann am besten, wenn der Abwind über den gesamten Flügel konstant ist.

Aus diesem Grund ergibt die elliptische Belastung, wenn nur die Spannweite und der Auftrieb berücksichtigt werden, den minimalen induzierten Widerstand, da der Abwind über dem Flügel konstant ist. Wenn die Beschränkungen modifiziert werden, werden andere Verteilungen und Flügelformen effizienter. Zum Beispiel aus On the Minimum Induced Drag of Wings von AH Bowers:

$\diamond$Prandtl/Munk (1914)

Elliptisch

Nur durch Spannweite und Auftrieb beschränkt

Downwash:$y = c$

$\diamond$Prandtl/Horten/Jones (1932)

Glockenförmig

Eingeschränkt durch Auftrieb und Biegemoment

Downwash:$y = bx + c$

$\diamond$Klein/Viswanathan (1975)

Modifizierte Glockenform

Eingeschränkt durch Auftrieb, Moment und Scherung (Mindeststruktur)

Downwash:$y = ax + bx + c^{2}$