Bedeutet „fast flach“ in Bezug auf das Universum nicht „nicht flach“?

(Fast) Duplikat einer Antwort, die ich zuvor geschrieben habe:

Die Homogenitäts- und Isotropiehypothesen führen zur FLRW-Metrik für das Universum, nämlich:

$$ds^2 = cdt^2 - a(t)^2\left [ \dfrac{dr^2}{1+kr^2/R^2}+r^2 d^2\Omega \right ]$$ Wo $R$ist der Krümmungsradius des Universums und $k$kann die Werte -1, 0 oder 1 für ein kugelförmiges, flaches oder hyperbolisches Universum annehmen. Dieses Ergebnis ist eine direkte Folge des kosmologischen Prinzips.

Um die Beziehung zwischen diesen Parametern und dem Inhalt des Universums herzuleiten, muss man die Einstein-Gleichungen anwenden. Man erhält damit die sogenannten Friedmann-Gleichungen:

$$\left\{\begin{matrix} \dot{a}^2-\dfrac{8 \pi G}{3c^2} \displaystyle \sum_i \rho_i a^2 & = & \dfrac{kc^2}{R^2} \\ \dfrac{d}{dt}\left ( \rho_i a^3 \right ) & = & -P_i \dfrac{d}{dt} \left (a^3 \right) \\ \end{matrix}\right.$$ Wo $\rho_i$Und $P_i$bezeichnen die Energiedichte und den Druck jeder Komponente des Universums, deren Verhalten durch ihre Zustandsgleichung bestimmt wird (z $P = 0$für staubartige Materie, $P=\rho/3$für Strahlung, $P=-\rho$für Dunkle Energie.)

Der Barwert von$a$ist 1. Auswertung der ersten Gleichung zum gegenwärtigen Zeitpunkt$t_0$, und unter Verwendung der Definition der Hubble-Konstante$H_0 = \dot{a}(t_0)/a(t_0) = \dot{a}(t_0)$, wir finden :

$$H_0^2 - \dfrac{8 \pi G}{3c^2} \displaystyle \sum_i \rho_i = \dfrac{kc^2}{R^2}$$

Es ist zweckmäßig, die kritische Dichte zu definieren als$\rho_c = 3c^2 H_0^2/(8\pi G)$, so dass :

$$\rho_c - \displaystyle \sum_i \rho_i = \dfrac{3c^2}{8 \pi G} \dfrac{kc^2}{R^2}$$

Dieses Ergebnis bedeutet, dass das Universum kugelförmig ist, wenn die Gesamtenergiedichte überschritten wird$\rho_c$, flach, wenn sie gleich sind, und hyperbolisch, wenn die Gesamtdichte geringer ist. So hängt die Krümmung mit dem Universumsinhalt zusammen. Sie können sehen, dass dies nicht von der Dichteverteilung abhängt (dh wie viel dunkle Energie ist, wie viel sonst). Eine Möglichkeit, die Abweichung des Universums von einer flachen Geometrie zu quantifizieren, besteht darin, den Krümmungsdichteparameter zu bewerten$\Omega_k$definiert als :

$$\begin{equation} \Omega_k \equiv \dfrac{\rho_c-\rho}{\rho_c} \end{equation}$$

Aber auch dies entspricht nach den Friedmann-Gleichungen:

$$\begin{equation} \Omega_k = \dfrac{kc^2}{H_0^2R^2} \end{equation}$$

Sie können also in Bezug auf die relative Differenz der Energiedichte gegenüber der kritischen Energiedichte (1. Ausdruck) oder in geometrischen Begriffen (2. Ausdruck) interpretieren. Beachten Sie, dass Krümmungstensoren/Skalare oder in$\mathcal{O}(1/R^2)$.

Die strengsten Grenzwerte für$\Omega_k$werden durch die Analyse der CMB-Anisotropien erhalten und sind kompatibel mit einem flachen Universum ($|\Omega_k| < 5 \times 10^{-3}$, arXiv:1502.01589 ), aber es gibt andere Möglichkeiten, diesen Parameter mit Standardkerzen und Standardlinealen zu messen.

Nun zurück zum Titel Ihrer Frage. Kontinuierliche Parameter können in der Physik wie immer nicht unendlich genau gemessen werden. In gewisser Weise könnte "fast flach" also verstanden werden als "unsere Messungen sind damit kompatibel, dass es flach ist". Auch wenn Sie sich den Ausdruck for ansehen$\Omega_k$, Sie können sehen, dass es proportional zu ist$R_H^2/R^2$, Wo$R_H = c/H_0$ist der Hubble-Radius. Der Hubble-Radius sagt Ihnen mehr oder weniger die Größe des sichtbaren Universums. Eine kleine Krümmung bedeutet also einen Krümmungsradius, der viel größer ist als die Größe des sichtbaren Universums. Wenn Sie sich daran erinnern, dass der Krümmungsparameter bis vor kurzem kaum bekannt war (eine Zeit lang dachte man, dass es so wäre$\sim 10 \%$) dann würde "fast platt" nur den Zufall betonen$\rho$Und$\rho_c$sind mindestens in der gleichen Größenordnung. Heutzutage ist das Standardmodell der Kosmologie (standard$\Lambda$CDM) beinhaltet eine inflationäre Epoche, die dazu neigt, den Raum dramatisch abzuflachen$\Omega_k$ist in diesem Modell standardmäßig auf 0 gesetzt (manchmal ausgedrückt als$\Omega_M+\Omega_{\Lambda} = 1$).

Ich werde auf einen früheren Stapelaustauschbeitrag zur Kosmologie verweisen , den ich geschrieben habe. Die Energiegleichung, die ich unter Verwendung der Newtonschen Mechanik herleite, wird in der Allgemeinen Relativitätstheorie zu modifiziert

$$\left(\frac{\dot a}{a}\right)^2 = H^2 = \frac{8\pi G\rho}{3} + \frac{k}{a^2},$$ Wo $k~=~0$entspricht einem flachen Raum für die Kosmologie. Für $k~=~1$die räumliche Mannigfaltigkeit ist kugelförmig und geschlossen und z $k~=~-1$die räumliche Mannigfaltigkeit ist hyperbolisch und offen. Das Merkwürdige ist, dass, da der letzte Term mit dem Kehrwert des Skalenquadrats variiert, seine physikalischen Implikationen sehr subtil sein können. Bei einer großen oder über lange Zeit ausgedehnten Kosmologie ist es sehr schwierig, die Form der Raumoberfläche zu bestimmen. Eine sehr große Kugel kann lokal flach erscheinen.