Wie wurden die Sonnenmassen und die Entfernung des Fusionsereignisses GW150914 aus dem Signal berechnet?

Kurz gesagt: weil wir sowohl Amplitude als auch Phase messen.

In der Amplitude$A$, Entfernung und Masse sind entartet, sodass Sie nur die folgende Kombination davon messen können:

$$A \propto \frac{1}{r}\frac{(m_1m_2)^{1/2}}{(m_1+m_2)^{1/6}}$$

Dabei hängt die Phase sehr empfindlich von der Masse der Objekte ab, nicht aber von der Entfernung. Wir können daher die Massen im obigen Ausdruck einschränken und die Masse-Entfernungs-Entartung aufbrechen, um sie zu bestimmen$r$.

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Die längere(r) Antwort:

Die Phase und Amplitude von GWs, die von kompakten binären Fusionen wie GW150914 erzeugt werden, sind unmöglich exakt zu modellieren und erfordern numerische Relativitätssimulationen für eine allgemeine Lösung. Wir können sie jedoch im Schwachfeldbereich ziemlich gut annähern, wenn sich die Objekte ausreichend langsamer als das Licht bewegen (und wenn wir ausreichend weit von ihnen entfernt sind).

Wir tun dies, indem wir ihre Orbitaldynamik mit einer post-Newtonschen Expansion im kleinen Parameter approximieren$(v/c)^2$(wo$v$ist die Umlaufgeschwindigkeit der Objekte). In führender (newtonscher) Ordnung in dieser Entwicklung (d.h. wo$v \ll c$), die Amplitude$h$und Phase$\psi$der Gravitationswellenform aussehen (im Frequenzbereich):

$$h(f) = \frac{1}{r}\mathcal{M}^{5/6}f^{-7/6}\exp(i\psi(f))$$ $$\psi(f) = 2\pi f t_c - \phi_c - \frac{\pi}{4} + \frac{3}{128}(\pi\mathcal{M}f)^{-5/3}$$ wo $t_c$ist die Zeit der Koaleszenz, $\phi_c$ist die Koaleszenzphase, und $\mathcal{M}$ist die Chirp-Masse . Diese Annäherung kann verbessert werden, indem Terme höherer Ordnung hinzugefügt werden $v/c$(und es gibt tatsächlich mehrere verschiedene Möglichkeiten, die PN-Erweiterung über die führende Ordnung hinaus zu erweitern).

Beachten Sie, dass die Entfernung$r$fehlt in der Phase$\psi$. Da die Chirp-Masse allein aus der Phase unabhängig (und sehr genau) bestimmt werden kann, ist die Entartung in$h$kann gebrochen werden und soweit die Amplitudenentwicklung gemessen werden kann (was nicht ganz so gut ist, wie wir es gerne hätten), können wir die Entfernung bestimmen$r$.

In der Praxis gibt es jedoch eine zusätzliche Entartung der Amplitude mit der Himmelsposition und -orientierung der Quellbinärdatei. Die Belastungsamplitude$h$Obiges ist ungefähr nur für eine Frontal-Binärdatei korrekt, die sich direkt über einem einzelnen Detektor befindet; Die Antwortfunktion des Detektors hängt tatsächlich von der Position der Quelle (und ihrer Ausrichtung) ab, so dass die Amplitude für eine nicht optimal lokalisierte Binärdatei kleiner als dieses Maximum sein wird.

Die Himmelsposition kann grob durch Zeittriangulation oder mit etwas besserer Genauigkeit durch Einbeziehung von Phasenunterschieden zwischen Detektorstandorten bestimmt werden. Wie Paul T sagt, wird dies am effektivsten mit einer kohärenten Bayes'schen Analyse der Detektordaten erreicht, die alle Modellparameter gleichzeitig anpasst (es gibt 15 davon).

Da die Himmelsposition im Allgemeinen ziemlich schlecht gemessen wird (zehn bis hundert Quadratgrad für typische Signale), ist der resultierende Fehler bei der Entfernungsmessung ebenfalls groß: typischerweise 10–30 %.

Die Massen der beiden binären Objekte sind in der Frequenz und Frequenzentwicklung der Gravitationswellen kodiert. Bei der üblichen Parametrisierung sind die beiden Parameter, die am einfachsten aus der Wellenphase gemessen werden können, die Gesamtmasse$M=m_1+m_2$und die "Chirp-Masse":

$$\mathcal{M} = \frac{(m_1\, m_2)^{3/5}}{(m_1+m_2)^{1/5}} = \frac{c^3}{G}\left[\frac{5}{96}\,\pi^{-8/3}\,f^{-11/3}\,\dot{f}\right]^{3/5},$$

wo$G$und$c$sind Newtons Gravitationskonstante und die Lichtgeschwindigkeit;$f$und$\dot{f}$sind die Gravitationswellenfrequenz und ihre erste Ableitung.

Die Gesamtmasse, die Entfernung zur Quelle und die Position der Quelle am Himmel kodieren in der Amplitude der Wellen. Sobald Sie sich entschieden haben$M$und$\mathcal{M}$Aus der Phase können Sie die Triangulation zwischen mehreren Detektoren verwenden, um die Himmelsposition zu bestimmen. Schließlich können Sie mit der Himmelsposition und der Gesamtmasse die Entfernung bestimmen.

In der Praxis werden alle diese Parameter (und mehrere andere) gleichzeitig angepasst, und es gibt viele Korrelationen, mit denen man sich befassen muss.

Wenn Sie wirklich interessiert sind, sehen Sie sich das LIGO-Dokument P1500218 "Properties of the binary black hole merge GW150914" an .

Die einfache Spielzeugantwort: Sie können sie extrahieren, indem Sie die folgende aus der Bayes'schen Analyse abgeleitete Größe maximieren:

$(s|h(\mathbf{\theta}))-(h(\mathbf{\theta})|h(\mathbf{\theta}))$, wo$s$ist das Signal$\theta$sind die Parameter dieser Wellenform (z. B. Chirp-Masse, Entfernung usw.),$(a|b)=\int \frac{a b^*}{S_n(f)} df$mit$S_n$die spektrale Leistungsdichte des LIGO-Detektors (Sie können das Formular z. B. von der LIGO-Tutorial-Website erhalten) und

$$h(f) = \frac{1}{r}\mathcal{M}^{5/6}f^{-7/6}\exp(i\psi(f))$$ $$\psi(f) = 2\pi f t_c - \phi_c - \frac{\pi}{4} + \frac{3}{128}(\pi\mathcal{M}f)^{-5/3}$$ wo $\mathcal{M}$ist die Chirp-Masse, $\psi$ist die Phase, $f$Frequenz, $t_c$Zeit der Verschmelzung, $\phi_c$Koaleszenzphase In erster Näherung

Um Ihre Frage zur Entartung zu beantworten$M_1$und$M_2$: Es ist viel schwieriger, bei Rauschen die einzelnen Massen herauszufinden, als zB die Chirp-Masse$\mathcal{M}$. Dies ist genau der Grund, warum diese Parameter mit anderen Parametern etwas degeneriert sind. Auch aus diesem Grund haben diese Parameter, wenn Sie sich das LIGO-Erkennungspapier ansehen, größere Fehlerbalken als die Chirp-Masse. Betrachtet man die Formel für die Gravitationswellendehnung, sollten Amplituden- und Phasenparameter unabhängig voneinander bestimmbar sein. Sobald Sie sowohl die Himmelslokalisierung als auch Begriffe höherer Ordnung umfassen$h(f)$, würden Sie sehen, dass zwischen der Chirp-Masse und den einzelnen Massen keine strenge Entartung mehr besteht.

Hinweise, um Verwirrung zu vermeiden

1. Das h hier ist nur die Annäherung erster Ordnung und gilt, wenn die Binärdateien weiter als rund sind$r=6M$ein Teil. Für bessere Näherungen benötigt man numerische Lösungen / semianalytische Modelle.
2. Die$h$hier ist die Himmelslokalisierung nicht enthalten und es wird angenommen, dass die Binärdatei frontal ist
3. Die$h$hat hier keine Terme höherer Ordnung, die auch das symmetrische Massenverhältnis beinhalten würden$\eta=m_1 m_2 / \mathcal{M}$
4. Die$h$hier sind keine Antennenmusterfunktionen enthalten (Sie müssten die Kreuz- und Pluspolarisation mit den Antennenmustern multiplizieren, die detektorabhängige Funktionen sind).
5. Die$h$hier sind Spin oder Exzentrizität der Binärdatei nicht enthalten
6. Die Bayessche Formel, die maximiert werden muss, geht von Gaußschem Rauschen aus und funktioniert daher nicht für nicht-Gaußsches Rauschen.