Warum wird ein Dipolmoment als Dipolmoment bezeichnet?

Ein „Moment“ ist ein ziemlich allgemeiner Begriff, und seine Verwendung reicht von der Elektrostatik (z. B. Dipol- und andere Multipolmomente) über die Mechanik (Kraftmoment, aber auch Trägheitsmoment) bis hin zu riesigen Statistikbereichen. Die allgemeine Intuition ist, dass Sie eine gewisse Menge an „Zeug“ (Ladung, Kraft, Masse, Wahrscheinlichkeit) mit einer Verteilungsfunktion haben$s(x)$, und die verschiedenen Momente dieser Verteilung erfassen, normalerweise sehr gut und in kompakter Weise, die Informationen darüber, wie das Zeug verteilt wird.

Auf einer Dimension werden Momente normalerweise definiert als

$$S_n=\int x^n s(x)\,\text dx.$$ Der nullte Moment sagt Ihnen etwas über die 'Menge an Zeug', die vorhanden ist, die nur das Integral von ist $s(x)$. Der erste Moment gibt Ihnen eine gute Annäherung darüber, wo das Zeug zentriert ist, und der zweite Moment gibt Ihnen Informationen darüber, wie breit die Verteilung ist. Dritte Momente geben Ihnen Informationen darüber, wie verzerrt diese Verteilung um das Zentrum ist, und wenn Sie fortfahren, können Sie weitere Informationen über die Verteilung extrahieren. Tatsächlich fragt eine Frage, die als Momentproblem bezeichnet wird , ob eine Rekonstruktion möglich ist $s(x)$aus den Momenten, und es stellt sich heraus, dass Sie dies tatsächlich tun können, solange das 'Zeug' nicht das Vorzeichen ändert.

In mehr Dimensionen, und wenn Ihr „Zeug“ eine Vektorgröße ist (wie eine Kraft), dann gibt es viel mehr Möglichkeiten, dies zu tun, als die allgemeine Idee der Multiplikation$s(x)$mit einer positionsabhängigen Funktion$M_n(x)$(was matrizenwertig sein kann! Dies ist der Fall für das Moment einer Kraftverteilung, as

$$\vec r\times \vec F=\begin{pmatrix} 0 &-x & y\\x &0&-z \\-y &z&0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}F_x\\F_y\\F_z\end{pmatrix}$$ ist ein linearer Operator auf $\vec F$) und dann integrieren. Die „allgemeinste“ Definition eines Moments ist also in etwa so $$S_n=\int M_n(x) s(x)\,\text dx,$$ wo je nach Situation die Interpretation der verschiedenen Objekte kompliziert sein kann. Generell wird aber in der Physik erwartet, dass der Kern funktioniert $M_n(x)$irgendwie homogen sein $n$Polynom -ter Ordnung in der Position, die gut charakterisiert werden kann als $$M_n(\lambda x)=\lambda^n M_n(x).$$ Dies drückt die Gemeinsamkeit zwischen dem Kraftmoment und dem Dipolmoment aus, die beide im relevanten Abstand linear sind.

Schließlich sollte man sich Gedanken darüber machen, wie diese ausgefallenen Formeln mit all diesen Integralen mit den beiden oben genannten einfachen Fällen zusammenhängen. Allgemein:

• für eine gegebene Ladungsverteilung$\rho(\vec x)$, das Dipolmoment ist$\vec d =\int \vec x \rho(\vec x)\,\text d\vec x,$Und

• für eine Kraftverteilung$\vec F(\vec x)$das auf ein gegebenes Objekt wirkende Kraftmoment (dh das Nettodrehmoment auf das Objekt um den gewählten Ursprung) ist$\vec \tau=\int \vec x\times \vec F(\vec x)\,\text d\vec x$.

Sie können sehen, dass diese dem obigen allgemeinen Muster entsprechen und dass Sie Ihre ursprünglichen, einfacheren Fälle wiederherstellen können, indem Sie ein Paar Punktladungen oder eine an einem einzelnen Punkt wirkende Kraft nehmen.

Für eine einfache Take-Home-Nachricht können Sie jedoch etwas nach dem Motto „Der erste Moment von etwas ist die Menge mal einer Art Entfernung“ ausprobieren.