Warum invertiert eine Lichtwelle an einer Grenze mit größerem Brechungsindex?

Der Grund ist nicht ganz so intuitiv formuliert wie bei Seilen, sondern im Wesentlichen, die Felder mit den elektromagnetischen Randbedingungen in Einklang zu bringen, die wiederum auf (1) das Kirchoffsche Spannungsgesetz zurückzuführen sind und (2) keine Leitungsströme einfließen können ein Dielektrikum.

Stellen Sie sich eine winzige, dünne rechteckige Schleife vor, die parallel zur Grenzfläche verläuft, wobei sich eine Hälfte genau in einem Medium und die andere Hälfte genau in dem anderen befindet. Die Summe$\oint \vec{E}\cdot \,{\rm d} \vec{r}$um die Schleife muss Null sein (Kirchoffsches Spannungsgesetz): In diesem Fall kann dies durch Anwendung des Faradayschen Gesetzes auf die Schleife gesehen werden: Da sie sehr dünn ist, gibt es keinen magnetischen Fluss durch sie. So:

Die tangentialen Komponenten des elektrischen Feldvektors müssen über eine dielektrische Grenze hinweg kontinuierlich sein

Wenn wir ebenfalls mit dem Ampère-Gesetz argumentieren, erhalten wir (weil es keinen Oberflächenschichtstrom für ein nichtleitendes Dielektrikum gibt, daher keinen Leitungsfluss oder Verschiebungsstrom durch eine dünne Schleife):

Die tangentialen Komponenten des Magnetfeldvektors müssen über eine dielektrische Grenze hinweg kontinuierlich sein

Ähnliche Bedingungen, die aus den beiden Gaußschen Gesetzen abgeleitet werden können, die auf ein kleines zylindrisches Volumen mit seinen Enden auf beiden Seiten der Grenzfläche angewendet werden, sind die normalen Komponenten der Verschiebung$\vec{D}$und Induktion$\vec{B}$müssen auch stetig sein, aber wir brauchen diese für dieses einfache Beispiel nicht.

Stellen Sie sich also eine ebene Welle vor, die auf die Grenzfläche trifft und sich normal zur Grenzfläche ausbreitet. Es gibt drei ebene Wellen: die einfallenden, reflektierten und übertragenen Wellen und die oben genannten Kontinuitätsbedingungen stellen sicher, dass das elektrische Feld von all diesen in die gleiche Richtung weist. Da ebene Wellen ihre Magnetfelder orthogonal zu den elektrischen Feldern haben, müssen die Magnetfelder alle die gleiche Richtung haben, orthogonal zum einfallenden elektrischen Feld. Wenn$E_+$,$E_-$Und$E_t$sind die einfallenden, reflektierten und durchlaufenden Wellen, dann lautet die erste Stetigkeitsbedingung:

$$E_+ + E_- = E_t\qquad(1)$$

Jetzt machen wir dasselbe für die Magnetfelder, aber wir achten darauf, dass das Magnetfeld$H_-$in die entgegengesetzte Richtung wie die einfallende, weil der Poynting-Vektor (Ausbreitungsrichtung) für die reflektierte Welle rückwärts ist, also:

$$H_+ - H_i = H_t\qquad(2)$$

Jetzt setzen wir die Beziehungen, die die Medien definieren:$H_\pm = \sqrt{\frac{\epsilon_1}{\mu_1}} E_\pm = \frac{n_1}{c} H_pm$Und$H_t=\frac{n_2}{c} E_t$und so:

$$\left(\begin{array}{cc}1&-1\\\frac{n_2}{c}&\frac{n_1}{c}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}E_t\\E_-\end{array}\right) = \left(\begin{array}{c}1\\\frac{n_1}{c}\end{array}\right) E_+$$

die bei Inversion der Matrix die Reflexions- und Transmissionskoeffizienten ergibt, insbesondere:

$$\frac{E_-}{E_+} = \frac{n_1-n_2}{n_1+n_2}$$

was immer negativ ist$n_2 > n_1$dh wenn die Welle in ein optisch dichteres Medium eintritt.