AAA ist dicht genau dann, wenn es in X∖AX∖AX \setminus A keine offene Teilmenge gibt, die nicht leer ist

Davon können Sie nicht ausgehen$X = \operatorname{cl}(A)$(Nehmen Sie zum Beispiel$X = \mathbb{R}$Und$A = \mathbb{Q}$).

Hier ist eine Methode, um Ihr Ergebnis zu beweisen, ohne Grenzen zu diskutieren. Nehme an, dass$A$ist dicht und lassen$U \subset A^c$sei offen. Dann$A \subset U^c$Und$U^c$ist geschlossen. Deshalb$\operatorname{cl}(A) \subset U^c$(da jede geschlossene Menge mit$A$enthält auch$cl(A)$). Aber das impliziert das$U \subset \operatorname{cl}(A)^c = \varnothing$. So$U = \varnothing$. Nehmen wir umgekehrt an, dass die einzige offene Teilmenge von$A^c$Ist$\varnothing$. Lassen$K$sei eine geschlossene Teilmenge von$X$mit$A\subset K$. Dann$K^c$ist eine offene Menge und$K^c \subset A^c$. Also nach Annahme$K^c = \varnothing$, So$K = X$. Daher ist die einzige abgeschlossene Teilmenge von$X$enthält$A$Ist$X$, implizieren das$\operatorname{cl}(A) = X$, was das beweist$A$ist dicht.

Für den ersten Teil, nein,$X = \mathrm{cl} (A)$bedeutet nicht$A = X$. Betrachten Sie zum Beispiel die Begründungen$\mathbb{Q}$als Teilmenge der reellen Linie. Für diese Richtung könnte es einfacher sein, das Kontrapositiv zu beweisen: wenn es ein nicht leeres Öffnen gibt$U \subseteq X \setminus A$, Dann$A$ist nicht dicht. (Hinweis: Kann jeder$x \in U$gehören$\mathrm{cl}(A)$? Beweise es!)

Die Hauptlinie Ihres Beweises der entgegengesetzten Richtung scheint in Ordnung zu sein. (Erwähnen Sie nur, dass Sie eine nicht leere offene Menge im Inneren haben$X \setminus A$.)