Ableitung einer geometrischen Reihe finden

Wenn Sie sagen "nimm x=2", sollten Sie 2 durch x ersetzen. Sie müssen also rechnen

$$\frac{d}{dx}\frac{1-x^{n+1}}{1-x}$$ Sobald Sie die Berechnungen in Bezug auf abgeschlossen haben$x$, können Sie zurückgehen und sagen$x=2$.

Andernfalls haben Sie einen Ausdruck, der nicht von abhängt$x$. Also, wenn Sie die Ableitung in Bezug auf nehmen$x$Sie erhalten$0$.

Das können wir nutzen

$$\frac{d}{dx}\sum_{k=0}^n x^k=\sum_{k=0}^n kx^{k-1}=\frac1x\sum_{k=0}^n kx^{k}$$

Und

$$\frac{d}{dx}\frac{1-x^{n+1}}{1-x}=\frac{-(n+1)x^{n}(1-x)+(1-x^{n+1})}{(1-x)^2}$$

und für$x=2$wir erhalten

$$\sum_{k=0}^n k2^{k}=2\frac{-(n+1)2^{n}(1-2)+(1-2^{n+1})}{(1-2)^2}=$$

$$=2(n2^n+2^n+1-2^{n+1})=2(n2^n+2^n(1-2)+1)=$$

$$=2(n2^n-2^n+1)=2^n(2n-2)+1$$

Sie bewerten die Serie im Hinblick auf$x$und dann da differenzieren$\frac{d}{dx}\left(\frac{1-2^{n+1}}{1-2}\right)=0$.

Als erstes haben wir die geometrische Reihe$n$Bedingungen

$$\sum_{k=0}^{n}x^{k}=\frac{1-x^{n+1}}{1-x}$$ und Differenzierung gibt

$$\sum_{k=0}^{n}kx^{k-1}=\frac{-(n+1)x^{n}(1-x)+(1-x^{n+1})}{(1-x)^2}=\frac{-(n+1)x^n+nx^{n+1}+1}{(x-1)^2}$$

Beachten Sie jedoch, dass wir möchten$\sum_{k=0}^{n}kx^{\color{red}{k}}$also multiplizieren mit$x$wir haben

$$\sum_{k=0}^{n}kx^{k}=\frac{-(n+1)x^{n+1}+nx^{n+2}+x}{(x-1)^2}$$

Jetzt einstellen$x=2$.