Lösen Sie nichtlineare Differentialgleichungen erster Ordnung

Question

Desmond13

Ich versuche, mich wieder an das zu erinnern, was ich über nichtlineare Differentialgleichungen gemacht habe.

Ich habe

$\dot{x}=\left( \begin{matrix}x_1^2 \\ -1\end{matrix}\right)$

Ich möchte diese nichtlineare Differentialgleichung lösen und ich weiß, dass die Lösung lautet:

$x_1(t)=\frac{x_1(0)}{1-x_1(0)}$

$x_2(t)=-t+x_2(0)$

Ich verstehe, wie man zum Ausdruck kommt $x_2(t)$ aber nicht zu dem von $x_1(t)$ .

Wenn ich mich integriere $\dot{x}_1=x_1^2$ Ich bekomme

$\int\limits_0^t\dot{x}_1(\tau)d\tau=\int\limits_0^t x_1^2(\tau)$

was geben soll

$x_1(t)-x_1(0)=\left[\frac{x_1^3}{3}\right]^{\tau=t}_{\tau=0}$

was nicht gibt: $x_1(t)=\frac{x_1(0)}{1-x_1(0)}$

Kannst du mir helfen? Können Sie mir einen Link geben, wo diese Verfahren erklärt werden? Danke!

Danke

Fernando Revilla · Answer 1

Es gibt Unabhängigkeit von Gleichungen:

X_{1}^{'} = X_{1}^{2}, \frac{D X_{1}}{D T} = X_{1}^{2}, \frac{D X_{1}}{X_{1}^{2}} = D T, \int \frac{D X_{1}}{X_{1}^{2}} = \int D T,

$x_1'=x_1^2,\quad \frac{dx_1}{dt}=x_1^2,\quad\frac{dx_1}{x_1^2}=dt,\quad \int\frac{dx_1}{x_1^2}=\int dt,$

- \frac{1}{X_{1}} = T + C_{1}, X_{1} = \frac{- 1}{T + C_{1}} .

$-\frac{1}{x_1}=t+C_1,\quad x_1=\frac{-1}{t+C_1}.$ Andererseits,

x_{2}^{'} = - 1, \Rightarrow x_{2} = - t + C_{2} .

$x_2'=-1,\Rightarrow x_2=-t+C_2.$ Die allgemeine Lösung des autonomen Systems ist also

[\begin{matrix} X_{1} \\ X_{2} \end{matrix}] = [\begin{matrix} \frac{- 1}{T + C_{1}} \\ - T + C_{2} \end{matrix}] .

$\begin{bmatrix}{x_1}\\{x_2}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}{\dfrac{-1}{t+C_1}}\\{-t+C_2}\end{bmatrix}.$