Ableitung von H=Bμ0−MH=Bμ0−M\mathbf H =\dfrac{\mathbf B}{\mu_0}-\mathbf M

Frohe Weihnachten an alle User!

Ich möchte ankommen$\mathbf H =\dfrac{\mathbf B}{\mu_0}-\mathbf M$aus dem Superpositionsprinzip, wie es einige Texte in der Elektrostatik mit getan haben$\mathbf D=\epsilon_0\mathbf E+\mathbf P$. In Magnetostatik stecke ich fest.

Beispielsweise muss in der Elektrostatik nach dem Überlagerungsprinzip das Potential außerhalb eines polarisierten Körpers die Summe der Potentiale aufgrund freier und gebundener Ladungen sein. Beim Anwenden des Farbverlaufs ergibt sich dies

$$\begin{array}{cl}\boldsymbol\nabla V=\boldsymbol\nabla V_\text{l}+\boldsymbol\nabla V_\text{p}&(1)\end{array}$$

Das Gesamtfeld wird durch das elektrische Gesamtpotential (wiederum durch das ppio der Überlagerung) gegeben, so dass$\mathbf E=-\boldsymbol\nabla V$. Wenn wir den Gradienten anwenden (in Bezug auf die Koordinaten von$\mathbf r$) Zu

$$\begin{equation} V_\text{p}\left(\mathbf r\right)=k_e \displaystyle\int_V\dfrac{\mathbf P\left(\mathbf r^{\prime}\right)\cdot\hat{\mathbf R}}{R^2}\ \mathrm{d}\tau^{\prime} \end{equation}$$

wir erhalten das elektrische Feld aufgrund der Polarisation:

$$\begin{array}{rcl}\boldsymbol\nabla V_p&=&\boldsymbol\nabla\left(k_e \displaystyle\int_V\dfrac{\mathbf P\left(\mathbf r^{\prime}\right)\cdot\hat{\mathbf R}}{R^2}\mathrm{d}\tau^{\prime}\right)=k_e \displaystyle\int_V\mathbf P\left(\mathbf r^{\prime}\right)\cdot\underbrace{\boldsymbol\nabla\left(\dfrac{\hat{\mathbf R}}{R^2}\right)}_{4\pi\delta^3\left(\mathbf R\right)}\mathrm{d}\tau^{\prime}\\&=&\underbrace{4\pi k_e }_{1/\epsilon_0}\displaystyle\int_V\mathbf P\left(\mathbf r^{\prime}\right)\delta^3\left(\mathbf r-\mathbf r^{\prime}\right)\mathrm{d}\tau^{\prime}=\dfrac{\mathbf P\left(\mathbf r\right)}{\epsilon_0}\end{array}$$

Einwechseln$(1)$und Multiplizieren der Gleichung mit$\epsilon_0$Ergebnisse

$$\begin{equation}\epsilon_0\mathbf E+\mathbf P=-\epsilon_0\boldsymbol\nabla V_l\end{equation}$$

Das Element auf der linken Seite wird normalerweise mit abgekürzt

$$\begin{equation}\mathbf D=\epsilon_0\mathbf E+\mathbf P\end{equation}$$ die wir Verschiebungsvektor genannt haben.

In der Magnetostatik habe ich in Büchern nicht gesehen, dass sie dies auf diese Weise tun, wenn nicht durch Hinzufügen der Ströme von Magnetisierung und frei. Obwohl dies dient, möchte ich es nach dem Superpositionsprinzip tun und ich möchte dasselbe tun:

Ab

$$\begin{array}\mathbf A_\text{m}\left(\mathbf r\right)=k_m\displaystyle\int_V\dfrac{\mathbf M\left(\mathbf r^{\prime}\right)\wedge\hat{\mathbf R}}{R^2}\ \mathrm{d}\tau^{\prime},&(2)\end{array}$$ nach dem Superpositionsprinzip muss das Vektorpotential außerhalb eines magnetisierten Körpers die Summe der Vektorpotentiale aufgrund freier Ströme und Magnetisierung sein. Beim Auftragen der Locke erhalten wir $$\begin{array}{cl}\boldsymbol\nabla\wedge\mathbf A=\boldsymbol\nabla\wedge\mathbf A_\text{l}+\boldsymbol\nabla\wedge\mathbf A_\text{m}&(3)\end{array}$$

Das Gesamtmagnetfeld ergibt sich aus der Anwendung der Locke auf das Gesamtvektorpotential (wiederum ergänz.), so dass$\mathbf B=\boldsymbol\nabla\wedge\mathbf A$. Wenn wir die Locke anwenden (in Bezug auf die Koordinaten von$\mathbf r$) Zu$(2)$Wir erhalten das Magnetfeld aufgrund der Magnetisierung des Materials:

$$\begin{equation}\boldsymbol\nabla\wedge\mathbf A_\text{m}=\boldsymbol\nabla\wedge\left(k_m\displaystyle\int_V\dfrac{\mathbf M\left(\mathbf r^{\prime}\right)\wedge\hat{\mathbf R}}{R^2}\ \mathrm{d}\tau^{\prime}\right)=k_m\displaystyle\int_V\boldsymbol\nabla\wedge\left(\mathbf M\left(\mathbf r^{\prime}\right)\wedge\dfrac{\hat{\mathbf R}}{R^2}\right)\ \mathrm{d}\tau^{\prime}.\end{equation}$$ Erweiterung des Integranden: $$\begin{equation}\boldsymbol\nabla\wedge\left(\mathbf M\left(\mathbf r^{\prime}\right)\wedge\dfrac{\hat{\mathbf R}}{R^2}\right)=\underbrace{\left(\mathbf M\cdot\boldsymbol\nabla\right)\dfrac{\hat{\mathbf R}}{R^2}}_{(\text{a})} -\underbrace{\left(\dfrac{\hat{\mathbf R}}{R^2}\cdot\boldsymbol\nabla\right)\mathbf M}_{(\text{b})}+\underbrace{\dfrac{\hat{\mathbf R}}{R^2}\left(\boldsymbol\nabla\cdot\mathbf M\right)}_{(\text{c})}-\underbrace{\mathbf M\left(\boldsymbol\nabla\cdot\dfrac{\hat{\mathbf R}}{R^2}\right)}_{(\text{d})}\end{equation}$$

Alles, was sich aus der Vektormagnetisierung ergibt, ist null, weil es nur davon abhängt$\mathbf r^{\prime}$, So$(\text{b})$Und$(\text{c})$sind storniert. Der Begriff$(\text{d})$ist derjenige, der interessiert:

$$\begin{equation}k_m\mathbf M\left(\boldsymbol\nabla\cdot\dfrac{\hat{\mathbf R}}{R^2}\right)=4\pi k_m \mathbf M\left(\mathbf r^{\prime}\right)\delta^3\left(\mathbf R\right)=\mu_0 \mathbf M\left(\mathbf r^{\prime}\right)\delta^3\left(\mathbf R\right)\end{equation}$$

Ich dachte, dass der Begriff$(\text{a})$würde storniert werden, aber es gibt mir nicht null:

$$\begin{array}{rcl}\left(\mathbf M\cdot\boldsymbol\nabla\right)\dfrac{\hat{\mathbf R}}{R^2}&=&\displaystyle\sum_{i=1}^3M_i\frac{\partial }{\partial x_i}\displaystyle\sum_{j=1}^3\frac{R_j}{R^3}\mathbf e_j=\displaystyle\sum_{i,j=1}^3M_i\mathbf e_j\frac{\partial }{\partial x_i}\left(\frac{R_j}{R^3}\right)\\&=&\displaystyle\sum_{i,j=1}^3\dfrac{M_i\mathbf e_j}{R^6}\left[R^3\frac{\partial R_j}{\partial x_i}-R_j\frac{\partial R^3}{\partial x_i}\right]\end{array}$$

Separat (mit$\mathbf R=\mathbf r-\mathbf r^\prime=R_1\hat{\mathbf e}_1+R_2\hat{\mathbf e}_2+R_3\hat{\mathbf e}_3$Und$R_i=x_i-x_i^\prime$):

$$\begin{array}{rcl}\dfrac{\partial R_j}{\partial x_i}&=&\dfrac{\partial x_j}{\partial x_i}=\delta_{ij}\\\dfrac{\partial R^3}{\partial x_i}&=&\dfrac{\partial R^3}{\partial R}\dfrac{\partial R}{\partial x_i}=3R^2\cdot\dfrac{R_i}{R}=3RR_i\end{array}$$ Ersetzen: $$\begin{array}{rcl}\left(\mathbf M\cdot\boldsymbol\nabla\right)\dfrac{\hat{\mathbf R}}{R^2}&=&\displaystyle\sum_{i,j=1}^3\dfrac{M_i\mathbf e_j}{R^6}\left[R^3\delta_{ij}-R_j3RR_i\right]=\displaystyle\sum_{i,j=1}^3\dfrac{M_i\mathbf e_j}{R^6}R^3\delta_{ij}-\displaystyle\sum_{i,j=1}^3\dfrac{M_i\mathbf e_j}{R^6}R_j3RR_i\\&=&\dfrac{1}{R^3}\displaystyle\sum_{i=1}^3M_i\mathbf e_i-\dfrac{3}{R^5}\displaystyle\sum_{i=1}^3M_iR_i\displaystyle\sum_{j=1}^3R_j\mathbf e_j=\dfrac{\mathbf M}{R^3}-\dfrac{3}{R^5}\left(\mathbf M\cdot\mathbf R\right)\mathbf R\\&=&\dfrac{1}{R^3}\left[\mathbf M-3\left(\mathbf M\cdot\hat{\mathbf R}\right)\hat{\mathbf R}\right]\end{array}$$

Obiges Ersetzen und Integrieren (unter Berücksichtigung dessen$\mathbf m=\int_V\mathbf M\ \mathrm{d}\tau^\prime$) erhalte ich:

$$\begin{equation}\mathbf B_\text{m}=-\dfrac{k_m}{R^3}\left[3\left(\mathbf m\cdot\hat{\mathbf R}\right)\hat{\mathbf R}-\mathbf m\right]-\mu_0\mathbf M \end{equation}$$ Der erste Term fällt mit dem Magnetfeld eines magnetischen Dipols zusammen. Ich verstehe nicht, warum es da ist, in der Elektrostatik haben wir nicht das elektrische Feld eines elektrischen Dipols.

Wenn$(\text{a})$null wäre, würde letzteres nur den Begriff integrieren$(\text{d})$und erhalten$\boldsymbol\nabla\wedge\mathbf A_\text{m}=-\mu_0\mathbf M\left(\mathbf r\right)$, also Ersetzen auf$(3)$wäre$\mathbf B+\mu_0\mathbf M=\boldsymbol\nabla\wedge\mathbf A_\text{l}$. Aber ich bräuchte dort ein Minuszeichen, damit es so wäre$\mu_0\mathbf H$. Ja, ich bin definitiv sutck.

Nun, das Leben ist hart und ich verstehe das nicht, sieht jemand den Fehler?

PS: Wer hat es getan, danke für das Lesen dieser langweiligen Rede ;).