Abstand zwischen primären Maxima des NNN-Spaltbeugungsmusters und der Einzelspalt-Hüllkurve

Wie Jon Custer kommentierte, ist das Fernfeld-Beugungsmuster die Fourier-Transformation der Schlitze. Für den einfachsten Fall, einen einzelnen Spalt, ist das Beugungsmuster die Fourier-Transformation eines Rechteckimpulses; das heißt, eine Sinc-Funktion.

Zwei Schlitze sind die Faltung eines einzelnen Schlitzes mit einem Dirac-Paar$\delta$-Funktionen. Das Beugungsmuster ist also das Produkt der FT des Schlitzes mit der FT des Schlitzes$\delta$-Funktionen. Dementsprechend besteht das Muster aus einem Kosinus (der FT des Paares von$\delta$-Funktionen) multipliziert mit der gleichen sinc-Funktion wie zuvor. Die Periode des Kosinus und damit der Abstand der Nullstellen ist umgekehrt proportional zum Abstand der Schlitze – bewegen Sie die Schlitze näher zusammen, breiten sich die Nullstellen des Beugungsmusters weiter aus. Sie sind aber immer periodisch, da sie aus einer Kosinusfunktion entstehen.

Ein$N$-Schlitzanordnung kann als Faltung der Impulsfunktion mit einem Array von beschrieben werden$\delta$-Funktionen. Das Beugungsmuster wird aus dem Produkt der Sinc-Funktion mit der FT von bestehen$\delta$-Funktionen. Wenn die Spalte gleichmäßig beabstandet sind, ist es leicht zu zeigen, dass die Periode dieser FT die gleiche ist wie für das einzelne Spaltpaar. Als$N$wird immer größer, die FT der$\delta$-Funktionen nähern sich einem Dirac-Kamm. Sie können diese Tendenz in der von Ihnen angegebenen Zahl erkennen; als$N$erhöht wird das "Wackeln" zwischen den Peaks unterdrückt.

Ich erkläre dir, warum Young mit experimentiert$N$Schlitze ergibt ungefähr gleich beabstandete Maxima mit Intensität$I_0 N^2$(Wenn$N\ge 3$es gibt auch Nebenmaxima, aber sie sind klein und wurden vernachlässigbar$N$ist groß). Im Moment werde ich Probleme im Zusammenhang mit Beugung ignorieren und mich nur auf Ferninterferenzen konzentrieren$N$kohärente Punktquellen, werde ich am Ende noch ein paar Worte zur Beugung verlieren. Betrachten wir eine Reihe von$N$kohärente Punktquellen, die durch einen Abstand getrennt sind$d$, wie in der folgenden Abbildung

Wir können davon ausgehen, dass Lichtstrahlen in einem Punkt ankommen$P$auf dem fernen Bildschirm parallel sind und dass das Feld der Realteil ist (hier ist, wie es oft passiert, wenn wir viele Wellen bewältigen müssen, die Verwendung einer komplexen Notation nützlich)

$$\begin{align} \begin{split} E_P &= E_0 e^{i (kr_1-\omega t)}+ E_0 e^{i (kr_2-\omega t)}+ \dots E_0 e^{i (kr_N-\omega t)} \\ & = E_0 e^{-i\omega t}e^{i kr_1} [1+ e^{ik(r_2-r_1)} +e^{ik(r_3-r_1)} +\dots +e^{ik(r_N-r_1)} ] \end{split} \end{align}$$ Wo$r_i$ist Weg von$i^{\textrm{th}}$Quelle zu$P$. Wenn$r_1$Und$r_2$sind die beiden oberen Strahlen, der Gangunterschied ist$r_2-r_1=d\sin \theta$(Sein$\theta$die Winkelposition des Punktes$P$auf dem fernen Bildschirm), haben wir auch$r_3-r_1=2d\sin \theta$usw. Durch Definieren$\delta = kd \sin \theta$wir haben dann$k (r_2 - r_1) = \delta$,$k (r_3 - r_1) = 2 \delta$usw. Damit wir schreiben können $$\begin{equation}\label{9331} E_P = E_0 e^{-i\omega t} e^{ikr_1} [(e^{i\delta})^0 + (e^{i\delta})^1 + (e^{i\delta})^2 + \dots (e^{i\delta})^{N-1}] \end{equation}$$ Aber$\sum_{n=0}^{N-1} x^n = \frac{x^N-1}{x-1}$also was es in eckigen Klammern steht $$\begin{equation}\label{7152} \frac{e^{i\delta N}-1}{e^{i\delta}-1} \end{equation}$$ Das ist leicht zu sehen$\frac{ e^{\frac{iN\delta}{2}} \left[ e^{\frac{iN\delta}{2}} - e^{-\frac{iN\delta}{2}} \right] }{ e^{\frac{i\delta}{2}} \left[ e^{\frac{i\delta}{2}} - e^{-\frac{i\delta}{2}} \right]}$entspricht dem obigen Ausdruck. Aber diese (anscheinend hässliche) Schreibweise ist nützlich, weil wir sie ausnutzen können$\sin x = \frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2i}$(Übrigens, diese erstaunliche Formel, die Euler Mitte des 18. Jahrhunderts geschrieben hat, kann leicht abgeleitet werden, wenn wir die wahre Euler-Formel annehmen$e^{ix}=\cos x + i \sin x$: Beginnen Sie mit einer generischen komplexen Zahl$z=a+ib$und überprüfen Sie, ob sein Imaginärteil ist$\textrm{Im}(z) = \frac{z-z^*}{2i}$, andererseits wenn$z=e^{ix}$wir haben$\textrm{Im}(z)=\sin x$, daraus die Formel). Wir schreiben den Ausdruck auf diese Weise $$\begin{equation} e^{\frac{i(N-1)\delta}{2}} \frac{\sin \frac{N \delta}{2} }{ \sin \frac{\delta}{2} } \end{equation}$$ Jetzt haben wir die eckige Klammer auf eine interessantere Weise geschrieben, wir können zurückgehen und das zum gesamten elektrischen Feld in sagen$P$ist der wahre Teil von $$\begin{equation}\label{9330} E_P = E_0 e^{-i\omega t} e^{i\left[ k r_1 + \frac{(N-1)\delta}{2} \right]} \frac{\sin \frac{N \delta}{2} }{ \sin \frac{\delta}{2} } \end{equation}$$ Nun, wenn$r_1$ist der Abstand von$P$(Punkt des Bildschirms) von der ersten Punktquelle, die Entfernung$R$von$P$von der Mitte der Reihe von Punktquellen (dieser Abstand kann als der beste repräsentative Abstand von genommen werden$P$aus der Quellenreihe) ist$R=r_1 + \frac{1}{2} (N-1) d \sin \theta$(Weil$\frac{(N-1)d}{2}$ist der Abstand der ersten Punktquelle von der Mitte der Reihe). Nehmen$r_1$, Ersetzen in oben$E_P$Ausdruck und Substitution$\delta$Auch Definition können wir das elektrische Feld so schreiben $$\begin{equation}\label{9329} E_P = E_0 e^{i(kR-\omega t)} \frac{\sin \frac{N \delta}{2} }{ \sin \frac{\delta}{2} } \end{equation}$$ Wo$R$ist der Abstand des Punktes auf dem Bildschirm von der Mitte der Reihe von Punktquellen. Das elektrische Feld in$P$ist der Realteil dieses Ausdrucks, und es ist eine harmonische Welle in der Form$E_{max} \cos(kR-\omega t)$Wo$E_{max} = E_0 \frac{\sin \frac{N \delta}{2} }{ \sin \frac{\delta}{2} }$eine Konstante ist (bitte beachten Sie, dass der Term mit Sinus eine Konstante für einen gegebenen Punkt ist$P$auf dem Bildschirm, mit seiner Winkelposition$\theta$; Betrachten Sie diese Wellenzahl$k$auch ``gegeben'' ist, und dass wir davon ausgehen$E_0$ist unabhängig von$\theta$). Die Intensität ist direkt proportional zum maximalen elektrischen Feld:$I =\frac{\epsilon_0 c}{2} E_{max}^2 = \frac{\epsilon_0 c}{2} E_0^2 \frac{\sin^2 \frac{N \delta}{2} }{ \sin^2 \frac{\delta}{2} }$. Wenn wir setzen$I_0 = \frac{\epsilon_0 c}{2} E_0^2$, wir bekommen $$\begin{equation}\label{7151} I(\theta)=I_0 \left( \frac{\sin \left( \frac{N \pi d\sin \theta}{\lambda} \right)}{\sin \left( \frac{\pi d\sin \theta}{\lambda} \right)} \right)^2 \end{equation}$$ Bitte beachten Sie, dass wir die Hypothese nicht ausgenutzt haben$N \gg 1$, und Ausbeutung$\sin (2x) = 2 \sin x \cos x$Es ist leicht zu sehen, dass dieses Ergebnis ausgenutzt werden kann, um die Young-Formel zu finden (zwei Quellen) $$\begin{equation} I (\theta) = 4 I_0 \cos^2 \left( \frac{\pi d \sin \theta}{\lambda_0 L} \right) \end{equation}$$ (Wenn wir uns nur für das Zweispaltproblem interessieren, ist dieser Beweis natürlich nicht der einfachere, aber es ist wichtig zu zeigen, dass die beiden Ergebnisse konsistent sind).

Jetzt sind wir bereit, Positionen und Intensitäten von Maxima zu finden. Wenn$\theta=0$alle Wellen sind in Phase und wir müssen ein Maximum haben. Die Intensität ist

$$\begin{equation}\label{7145} I_0 \lim_{x \to 0} \left( \frac{\sin (Nx)}{\sin x} \right)^2 = I_0 \left( \lim_{x \to 0} \frac{\sin (Nx)}{\sin x} \right)^2 = I_0 \left( \lim_{x \to 0} \frac{N \cos (Nx)}{\cos x} \right)^2 = I_0 N^2 \end{equation}$$ wo wir ansetzen$\frac{\pi d \sin \theta}{\lambda} = x$und wir haben die de l'Hopital-Regel ausgenutzt, um die Grenze zu lösen. Gibt es andere Grenzwerte als$\theta \to 0$so dass$x\to 0$? Sicher wenn$\sin \theta \to 0$wir haben$x \to 0$, aber die einzige$\theta$mit körperlichem Sinn liegen dazwischen$-\frac{\pi}{2}$Und$\frac{\pi}{2}$, also mit$\theta=0$Die Betrachtung des Problems unter diesem Blickwinkel hat die Möglichkeiten beendet. Beachten Sie jedoch, was folgt

• Wir haben die gleiche unbestimmte Grenze, die mit de l'Hopital auf die gleiche Weise gelöst wird, nicht nur wann$x \to 0$sondern auch wann$x\to \pi m$mit$m$Ganzzahl (denk daran$N$ist auch eine Ganzzahl, und eventuelle Minuszeichen werden beim Quadrieren entfernt)

• Es besteht kein Zweifel, wann$\theta=0$Wir haben eine maximale Intensität auf dem Bildschirm (alle Wellen sind in Phase), also jeder andere Punkt mit der gleichen Intensität$I_0 N^2$ist auch maximal

Wir schließen daraus, dass die$\theta$Werte befriedigen$\frac{\pi d \sin \theta}{\lambda} = m \pi$, dh

$$\begin{equation} d \sin \theta = m \lambda \qquad m \in \mathbb{Z} \end{equation}$$ sind die Winkelposition von Maxima mit Intensität$I_0 N^2$. Wenn$\theta$ist klein,$\sin \theta \approx \theta$und wir sehen, dass auf dem Bildschirm die Maxima in gleichem Abstand voneinander liegen$D \Delta \theta$Sein$\Delta \theta = \frac{\lambda}{d}$($d$Abstand zwischen Punktquellen) und$D$Entfernung des Bildschirms.

Zum Schluss noch ein paar Worte zum Beugungsproblem (dies erklärt die Diagramme von$\frac{I}{I_0}$in der Frage). Wir sind implizit davon ausgegangen$a \ll \lambda$($a$Amplitude des Spalts: Wir haben "Punkt"-Quellen angenommen), so dass jede Quelle den Schirm ungefähr gleichmäßig beleuchtet (das zentrale Beugungsmaximum ist groß). Wenn dies nicht der Fall ist, müssen wir davon ausgehen, dass jede "Punkt"-Quelle kein Punkt ist, und Interferenzeffekte von verschiedenen Punkten derselben Quelle zwingen uns anzunehmen, dass die Intensität jeder Quelle abhängig von Maxima und Minima hat$\theta$. Da die Quellenreihe klein und weit vom Bildschirm entfernt ist, können wir davon ausgehen, dass dieser Effekt für alle Quellen gleich ist. Das Intensitätsprofil wird durch diesen Effekt also "moduliert", und wir können dies einfach multiplizieren$I(\theta)$durch die quadrierte Einzelspaltbeugungsfunktion$\left( \frac{\sin \alpha}{\alpha} \right)^2$mit$\alpha = \frac{\pi a\sin \theta}{\lambda}$($a$Amplitude des Spaltes): Der Abstand zwischen den Hauptmaxima ist derselbe, aber in diesem Fall der einzige mit Intensität$I_0 N^2$ist derjenige in der Mitte (weil$\frac{\sin x}{x} < 1$und nur wenn$x\to 0$wir haben$\frac{\sin x}{x} \to 1$).