Fernfeldnäherung im Doppelspaltexperiment von Young

Ich studiere einige Dinge rund um das Doppelspaltexperiment von Young und versuche, die Ableitungen zu verstehen. Der Teil, der mir nicht klar ist, ist die Fernfeld-Näherung. Das heißt, ich verstehe, was es bedeutet, aber ich bekomme nicht die gleiche Gleichung wie im Tutorial.

Wir beginnen mit einer Wellenlängenwelle λ = 2 π k Einfall auf eine Platte mit zwei Nadellöchern. Jede Lochblende oder jeder Schlitz wirkt wie eine Wellenlängenquelle λ .

Die resultierende Welle an einem Punkt mit Abständen R 1 , R 2 aus den Schlitzen ist e ich ( k R 1 − ω T ) R 1 + e ich ( k R 2 − ω T ) R 2

Die Fernfeld-Näherung, die wir machen, ist R 1 , R 2 ≫ D , Wo D ist der Abstand zwischen den Schlitzen.

Der Ausdruck für die resultierende Welle sollte sein 2 e ich ( k R − ω T ) R cos ⁡ ( k D 2 θ ) , Wo R = R 1 + R 2 2 Und θ - kleiner Abweichungswinkel von der Normalen zum Bildschirm, auf dem sich die Schlitze befinden.

Es ist der letztere Ausdruck, den ich erhalten möchte. Jeder Rat oder Hinweis (bevorzugt) ist willkommen.

Antworten (2)

Sie haben um einen Hinweis gebeten ... drücken Sie Ihre Gleichungen aus als R 1 = R + δ Und R 2 = R − δ ; Beachten Sie dann, dass der Intensitätsterm ( 1 / R 1 Und 1 / R 2 ) wird im Grunde für beide gleich sein (ersetzen wie oben, und die δ Begriff wird verschwinden), und die Dinge werden sich fügen. Möglicherweise müssen Sie daran erinnert werden e ich ϕ = cos ⁡ ϕ + ich Sünde ⁡ ϕ

Ich werde es als Übung belassen, um zu sehen, wie δ bezieht sich auf D , λ Und θ ... wie Emilio Pisanty im Kommentar betont, müssen Sie sich das möglicherweise für kleine merken θ , θ ≈ Sünde ⁡ θ ≈ bräunen ⁡ θ .

Es könnte erwähnenswert sein, dass die strenge geometrische Beziehung zwischen D , λ Und θ wird nicht das in der Frage angegebene Ergebnis liefern. Zusätzlich zur Geometrie muss man die Beziehung zwischen berücksichtigen Sünde ⁡ ( θ ) , bräunen ⁡ ( θ ) , Und θ wenn letzteres klein ist.
Danke schön. Was ist der δ Begriff? Handelt es sich um einen willkürlich kleinen Wert?
@MadPhysicist - es ist nicht beliebig klein - wenn Sie ein Diagramm der Strahlen von den beiden Lochblenden zeichnen, die den Bildschirm erreichen, werden Sie sehen, dass die beiden Strahlen mit zunehmendem Abstand zum Bildschirm "immer paralleler" werden. der Abstandsunterschied zum Bildschirm ergibt sich dann aus einfacher Geometrie.
In Ordnung. Ich verstehe. Es ist der Unterschied in der Länge der zurückgelegten Wege.
Ich schätze die Hilfe von Ihnen beiden! Ich habe meine eigene Antwort auf der Grundlage der von Ihnen gegebenen Vorschläge gepostet. Kommt als letztes Bit überhaupt die Wellenlänge in die Ableitung? Gibt es da irgendwelche Grenzfälle oder Intuition?
die Wellenlänge "versteckt" sich darin k , natürlich - aber es bietet keine wirklich hilfreiche Intuition (außer dass Sie davon ausgehen, dass der Winkel klein ist, also k D muss klein sein, also λ ≪ D

Ich beantworte meine eigene Frage mit Hilfe von @Emilio Pisanty und @Floris. Sehr geschätzt!

Hier kommt's.

Betrachten Sie den Unterschied zwischen den Wegen, die von der von Spalt 1 emittierten Welle und der von Spalt 2 emittierten Welle zurückgelegt werden. Nennen Sie sie R 1 Und R 2 . Der Unterschied ist 2 δ = R 1 − R 2 . Dann, R 1 = R + δ Und R 2 = R − δ . Das ist, R - Durchschnitt zwischen R 1 Und R 2 .

Beachten Sie außerdem die Intensitätsterme 1 R 1 = 1 R + δ Und 1 R 2 = 1 R − δ . Als R 1 , R 2 >> D , werden die beiden Strahlen immer paralleler. Das heißt, der Unterschied zwischen ihnen wird kleiner und kleiner. Seit δ = D Sünde ⁡ θ , Wo θ → 0 , wir haben δ → 0 . Die Intensitäten sind für alle praktischen Zwecke in Fernfeldnäherung gleich. Das macht intuitiv Sinn.

Betrachten wir den ursprünglichen Ausdruck:

e ich ( k R 1 − ω T ) R 1 + e ich ( k R 2 − ω T ) R 2 = e ich ( k R + k δ − ω T ) R + e ich ( k R − k δ − ω T ) R = e ich ( k R − ω T ) R ( e ich k δ − e − ich k δ ) = 2 e ich ( k R − ω T ) R cos ⁡ k δ

Seit δ = ( Sünde ⁡ θ ) D 2 Und Sünde ⁡ θ → θ als θ → 0 , erhalten wir die endgültigen Ausdrücke:

2 e ich ( k R − ω T ) R cos ⁡ ( k D 2 θ )

Ich freue mich, dass Sie die Herleitung mit "ein wenig Hilfe von Ihren Freunden" bekommen konnten. Gut gemacht.
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