Bedeckung des mittleren Schlitzes eines N-Schlitz-Beugungsgitters - was passiert?

Ich glaube, ich habe es gelöst.

Ohne Abdeckung des Spalts haben wir die übliche Beugung:

$$u = u_0 e^{i(kz-\omega t)} \space \frac{1- e^{iN\delta}}{1- e^{i\delta}} = u_0 e^{i(kz-\omega t)} e^{i(\frac{N}{2}\delta - \frac{\delta}{2})} \frac{\sin \left(\frac{N\delta}{2}\right)}{\sin \left( \frac{\delta}{2}\right)}$$

Nach dem Abdecken des Schlitzes haben wir einfach:

$$u = u_0 \left[e^{i(kz-\omega t)} e^{i(\frac{N}{2}\delta - \frac{\delta}{2})} \frac{\sin \left(\frac{N\delta}{2}\right)}{\sin \left( \frac{\delta}{2}\right)} \space - \space e^{i(\frac{N\delta}{2})}\right]$$

Die Intensität ist gegeben durch$I \propto uu^*$:

$$I = I_0 \left[ \frac{\sin^2 \left( \frac{N\delta}{2} \right)}{\sin^2\left(\frac{\delta}{2}\right)} \space -2 \cos\left(\frac{N\delta}{2}\right) \frac{\sin \left( \frac{N\delta}{2} \right)}{\sin \left(\frac{\delta}{2}\right)} + 1 \right]$$

Finden$I_0$, einfach einwechseln$\delta=0$. Wir wissen, dass die zentrale Intensität proportional zu ist$N^2$Wo$N$ist die Anzahl der Schlitze, so würden wir erwarten$I_0=(N−1)^2$Hier.

Ersetzen$\delta=0$, wir haben$I\propto (N^2−2N+1)=(N−1)^2$, also ist es zufrieden!

Angenommen, die Welle ist normalisiert,

$$I = (N-1)^2 \left[ \frac{\sin^2 \left( \frac{N\delta}{2} \right)}{\sin^2\left(\frac{\delta}{2}\right)} \space -2 \cos\left(\frac{N\delta}{2}\right) \frac{\sin \left( \frac{N\delta}{2} \right)}{\sin \left(\frac{\delta}{2}\right)} + 1 \right]$$

Maximas treten noch auf$d \sin\theta=n\lambda$, mit Intensität$(N−1)^2$.

Minimas treten jetzt auf$\frac{N\delta}{2}=\frac{n\pi}{2}$. Also Minimas sind bei$d\sin\theta= \frac{n}{N}\frac{λ}{2}$.

Vergleichen wir dies mit der ungedeckten Situation, wir haben$\delta \theta \space ' = \frac{1}{2} \delta \theta$.