Youngs "Double Double Slit"-Experiment

Question

Youngs "Double Double Slit"-Experiment

Optik
Physik
Interferenz
Doppelspalt-Experiment
Hausaufgaben und Übungen

Aspirant

Die Einrichtung ist im Bild oben dargestellt. Finden Sie die Intensität auf dem Bildschirm als Funktion von $y$ , Und $I_0$ , Wo $I_0$ ist die Intensität der zentralen Maxima.

Ich erkenne, dass die auf das erste Spaltpaar einfallende ebene Wellenfront zu zwei zylindrischen Wellenfronten führt, die auf dem zweiten Spaltpaar interferieren. Danach bin ich etwas verloren. Werden zwei weitere zylindrische Wellenfronten aufgebaut, mit welcher Amplitude und Phase auch immer die erste Interferenz verursacht? Wie würde man vorgehen, um die Intensität zu finden?

Was ist auch mit "zentralen Maxima" gemeint? Wenn im zweiten Spaltpaar zwei zylindrische Wellenfronten aufgebaut werden, sehe ich nicht ein, warum es unbedingt ein Maximum in der Mitte geben sollte. Bezieht sich der Begriff lediglich auf einen Punkt, an dem die Phasendifferenz Null ist?

Wenn beispielsweise eine ebene Wellenfront nicht normal auf ein Schlitzpaar auftrifft und dies dazu führt, dass auf der Symmetrieachse keine Maxima vorhanden sind, würden wir den Punkt mit der Phasendifferenz Null das zentrale Maximum nennen, oder würden wir sagen, dass das zentrale Maxima gibt es nicht?

Die Lösung für das Problem ist

{ICH}_{0} \cos^{2} (\frac{2 π}{λ} \frac{D_{1} D_{2}}{D_{1}}) \cos^{2} (\frac{2 π}{λ} \frac{D_{2} j}{D_{2}})

$I_0\cos^2\left(\frac{2\pi }{\lambda}\frac{d_1d_2}{D_1}\right)\cos^2\left(\frac{2\pi }{\lambda }\frac{d_2 y}{D_2}\right)$

Kksen

Können Sie einen Hinweis darauf geben, woher Sie diese Frage haben, insbesondere die Antwort?

Aspirant

@KamKahSen Es ist aus Pathfinder, einem indischen Physik-Olympiade-Buch.

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Youngs "Double Double Slit"-Experiment

Können Sie einen Hinweis darauf geben, woher Sie diese Frage haben, insbesondere die Antwort?
@KamKahSen Es ist aus Pathfinder, einem indischen Physik-Olympiade-Buch.

Benutzer200143 · Answer 1

Es werden verschiedene Annahmen und Annäherungen getroffen, die wahrscheinlich im Text angegeben wurden, bevor das Problem zugewiesen wurde. Die Schlitze werden angenähert als Quellen ausgehender Wellen derselben Wellenlänge mit einer von der Richtung entweder der eingehenden oder der ausgehenden Welle unabhängigen Größe. Nehmen Sie in diesem Fall die gepunktete Linie als $y=0$ , Und $y$ Als Position der Messung auf dem rechten Bildschirm gibt es vier mögliche Wege, die das Licht zurücklegen kann, um den Bildschirm zu erreichen. Diese sind

oberer linker Schlitz zum oberen rechten Schlitz, um mit Pfadlänge zu screenen $\ell_1+\ell_3$ ,
oberer linker Schlitz zum unteren rechten Schlitz, um mit Pfadlänge zu screenen $\ell_2+\ell_4$ ,
unterer linker Schlitz zum oberen rechten Schlitz, um mit Pfadlänge zu screenen $\ell_2+\ell_3$ ,
unterer linker Schlitz zum unteren rechten Schlitz, um mit Pfadlänge zu screenen $\ell_1+\ell_4$ ,

woher die Geometrie

\begin{array}{rcl} ℓ_{1} & = & \sqrt{\frac{(D_{2} - D_{1})^{2}}{4} + D_{1}^{2}} \\ ℓ_{2} & = & \sqrt{\frac{(D_{2} + D_{1})^{2}}{4} + D_{1}^{2}} \\ ℓ_{3} & = & \sqrt{\frac{(D_{2} - 2 j)^{2}}{4} + D_{1}^{2}} \\ ℓ_{4} & = & \sqrt{\frac{(D_{2} + 2 j)^{2}}{4} + D_{1}^{2}} . \end{array}

$\begin{eqnarray} \ell_1 &=& \sqrt{\frac{(d_2-d_1)^2}{4}+D_1^2} \\ \ell_2 &=& \sqrt{\frac{(d_2+d_1)^2}{4}+D_1^2} \\ \ell_3 &=& \sqrt{\frac{(d_2-2y)^2}{4}+D_1^2} \\ \ell_4 &=& \sqrt{\frac{(d_2+2y)^2}{4}+D_1^2} \,. \end{eqnarray}$ Die Amplitude am Bildschirm ist dann proportional zu

A \propto e^{ich \frac{2 π}{λ} (ℓ_{1} + ℓ_{3})} + e^{ich \frac{2 π}{λ} (ℓ_{2} + ℓ_{4})} + e^{ich \frac{2 π}{λ} (ℓ_{2} + ℓ_{3})} + e^{ich \frac{2 π}{λ} (ℓ_{1} + ℓ_{4})}

$\begin{equation} A \propto e^{i\frac{2\pi}{\lambda}(\ell_1+\ell_3)} + e^{i\frac{2\pi}{\lambda}(\ell_2+\ell_4)} + e^{i\frac{2\pi}{\lambda}(\ell_2+\ell_3)} + e^{i\frac{2\pi}{\lambda}(\ell_1+\ell_4)} \end{equation}$ und die Intensität ist die Größe der Amplitude im Quadrat

ICH = | A |^{2} \propto \cos^{2} \frac{2 π}{λ} \frac{ℓ_{2} - ℓ_{1}}{2} \cos^{2} \frac{2 π}{λ} \frac{ℓ_{3} - ℓ_{4}}{2} .

$\begin{equation} I = |A|^2 \propto \cos^2\frac{2\pi}{\lambda}\frac{\ell_2-\ell_1}{2} \cos^2\frac{2\pi}{\lambda}\frac{\ell_3-\ell_4}{2} \,. \end{equation}$

Damit die Annäherungen der obigen Schlitze gültig sind, muss der Abstand der Schlitze im Vergleich zu den Trennungen klein sein. So $D_1,D_2 \gg d_1,d_2$ , und Erweiterung der Quadratwurzel

\begin{array}{rcl} ℓ_{1} = D_{1} + \frac{(D_{2} - D_{1})^{2}}{8 D_{1}} + . . . \\ ℓ_{2} = D_{1} + \frac{(D_{2} + D_{1})^{2}}{8 D_{1}} + . . . \\ ℓ_{3} = D_{2} + \frac{(D_{2} - 2 j)^{2}}{8 D_{2}} + . . . \\ ℓ_{4} = D_{2} + \frac{(D_{2} + 2 j)^{2}}{8 D_{2}} + . . . \end{array}

$\begin{eqnarray} \ell_1 = D_1+\frac{(d_2-d_1)^2}{8D_1}+... \nonumber\\ \ell_2 = D_1+\frac{(d_2+d_1)^2}{8D_1}+... \nonumber\\ \ell_3 = D_2+\frac{(d_2-2y)^2}{8D_2}+... \nonumber\\ \ell_4 = D_2+\frac{(d_2+2y)^2}{8D_2}+... \end{eqnarray}$ so dass

\begin{array}{rcl} \frac{ℓ_{2} - ℓ_{1}}{2} = \frac{D_{2} D_{1}}{4 D_{1}} + . . . \\ \frac{ℓ_{3} - ℓ_{4}}{2} = \frac{D_{2} j}{2 D_{2}} + . . . \end{array}

$\begin{eqnarray} \frac{\ell_2-\ell_1}{2} = \frac{d_2d_1}{4D_1} +... \nonumber\\ \frac{\ell_3-\ell_4}{2} = \frac{d_2y}{2D_2} +... \end{eqnarray}$ Das gibt

ICH \propto \cos^{2} (\frac{2 π}{λ} \frac{D_{1} D_{2}}{4 D_{1}}) \cos^{2} (\frac{2 π}{λ} \frac{D_{2} j}{2 D_{2}})

$\begin{equation} I \propto \cos^2\left (\frac{2\pi}{\lambda} \frac{d_1d_2}{4D_1}\right) \cos^2\left (\frac{2\pi}{\lambda} \frac{d_2y}{2D_2}\right) \end{equation}$ Das Maximum liegt bei

y = 0

$y=0$ , was normalerweise als zentrales Maximum bezeichnet wird. Rufen Sie dies an

I_{0}

$I_0$ , Das Ergebnis ist

ICH = {ICH}_{0} \cos^{2} (\frac{2 π}{λ} \frac{D_{2} j}{2 D_{2}}) .

$\begin{equation} I = I_0 \cos^2\left (\frac{2\pi}{\lambda} \frac{d_2y}{2D_2}\right) \,. \end{equation}$ Ich habe möglicherweise Faktor 2-Fehler gemacht und bin zu faul, um dies zu überprüfen, aber es scheint mir dennoch, dass die Antwort, die Sie geben, fehlerhaft ist und die erste nicht enthalten sollte

\cos^{2}

$\cos^2$ Begriff

Vielleicht bekommen wir zwei $\cos^2$ Bedingungen, wenn wir davon ausgehen, dass die zentralen Maxima ist $y=0$ auf dem ersten Schlitzpaar? Könnten Sie bitte auch Ihre Arbeit überprüfen? Fehler in diesem Buch sind sehr selten.
Ja, wir können diesen Begriff erhalten, wenn es sich um die von Ihnen erwähnte Situation handelt. Ich habe das Buch gerade heruntergeladen und überprüft, der zentrale Grundsatz bezieht sich auf den ersten Bildschirm.
Meine kurze Rechnung ist im Grunde die gleiche wie bei user2000143. Nicht sicher, was schief gelaufen ist.
@KamKahSen Das Buch ist bekannt für seine nicht intuitiven und nicht standardmäßigen Probleme. Vielleicht fehlt uns etwas.
Ja, es besteht eine hohe Wahrscheinlichkeit, dass dies der Fall ist, danke für die Erinnerung.

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