Ändert sich das Gewicht einer Sanduhr, wenn Sand hineinfällt?

Die Analyse der Beschleunigung des Massenschwerpunkts des Systems könnte der einfachste Weg sein, da wir uns keine Gedanken über interne Wechselwirkungen machen könnten.

Wenden wir das zweite Newtonsche Gesetz an:$\sum F=N-Mg=Ma_\text{cm}$, wo$M$ist die Gesamtmasse des Sanduhrgehäuses und des Sandes,$N$ist das, was Sie auf der Skala ablesen (Normalkraft) und$a_\text{cm}$ist die Massenmittelpunktsbeschleunigung. Ich habe die Kräfte so geschrieben, dass nach oben positiv ist

Der Schwerpunkt des Gehäuses + Sand bewegt sich während des Prozesses nach unten, aber was zählt, ist die Beschleunigung. Wenn die Beschleunigung nach oben ist,$N>Mg$. Wenn es nach unten geht,$N<Mg$. Null Beschleunigung bedeutet$N=Mg$. Wenn wir also die Richtung der Beschleunigung herausfinden, wissen wir, wie sich der Skalenwert im Vergleich zur Gravitationskraft verhält$Mg$.

Der Sand, der sich noch oben und bereits unten befindet, sowie die Umschließung erfahren keine Beschleunigung. Also die Richtung von$a_\text{cm}$ist die gleiche wie die Richtung von$a_\text{falling sand}$. Konzentrieren wir uns einfach auf ein bisschen Sand, wenn es zu fallen beginnt (Anfang) und dann am Boden zur Ruhe kommt (Ende).$v_\text{i, falling}=v_\text{f, falling}=0$, Also$a_\text{avg, falling}=0$. Somit ist die (durchschnittliche) Beschleunigung des gesamten Systems Null. Die Waage liest das Gewicht des Systems ab.

Der obige Absatz ging von dem stationären Zustand aus, den das OP anstrebte. Dabei bewegt sich der Massenschwerpunkt scheinbar mit konstanter Geschwindigkeit nach unten. Aber während des anfänglichen "Umdrehens" der Sanduhr sowie des letzten Bits, wo die letzten Körner fallen, muss die Beschleunigung ungleich Null sein, um diese Massenmittelpunktsbewegung zu "starten" und "zu stoppen".

Stellen Sie sich eine Sanduhr mit nur einem Stein darin vor. Wenn der Stein zu fallen beginnt, würde eine Waage anhalten, um sein Gewicht zu messen, aber es wird eine Spitze messen, die dem Moment entspricht, in dem er auf den Boden trifft. Je größer die Sendezeit, desto größer die Spitze. Es ist, als würde man das Gewicht des Steins auf ein ganz bestimmtes Zeitintervall konzentrieren: wenn er auftrifft. Das durchschnittliche Gewicht über die Fallzeit ist jedoch genau das Gesamtgewicht mit dem Stein unten.

Zurück zum Sand, das Einzige, was sich ändert, ist, dass Sie anstelle einer großen Spitze viele kleine Spitzen im Gewicht haben. Sie müssen also keine fallende Zeit abwarten, um das statische Gewicht als Durchschnittswert zu erhalten, und eine Waage mittelt die Trägheit von selbst und zeigt immer das gleiche Gewicht an. Wenn Sie jedoch eine Skala mit einer hervorragenden Auflösung sowohl in Masse als auch in Zeit entsprechend der Größe der Körner finden, können Sie diese Spitzen möglicherweise sehen.

Nun, wie kann man beweisen, dass wir das Gewicht nur rechtzeitig konzentrieren. Ich denke, ein ganz einfaches, aber immer noch wirksames Argument findet sich in der High-School-Level-Relation:

Der Impuls, den der Stein während des freien Falls erhält, ist:

während des Aufpralls wird die Geschwindigkeit in einer Zeit getötet$t$und so das Momentum, das Aufrufen$a$die beteiligte Beschleunigung haben wir (modulo alle Zeichen, die trivial zu beheben sind):

Das ist jetzt klar

Das bedeutet, wenn für eine Zeit$T$Wir messen das Steingewicht dann eine Zeit lang nicht$t$Wir messen ein Gewicht$\frac{T}{t}$mal größer. Der Zeitdurchschnitt beträgt:

Der erste Term bezieht sich auf die Flugzeit (Nullkraft), der zweite ist die Kraft, die den Impuls über eine Zeit tötet$t$und für die gleiche Zeit$t$auch das natürliche Gewicht des Felsens wirkt.

Wenn es einen gewissen Luftwiderstand gibt, überträgt er eine gewisse Kraft auf die Waage, während der Stein fällt, im durchschnittlichen Ausdruck bewegt er eine gewisse Kraft vom zweiten Term zum ersten. Die Idee ist, dass die Waage während der Fallzeit den Widerstand misst, aber dann ist die Geschwindigkeit etwas geringer, wenn der Stein auftrifft. Dies würde auf ähnliche Weise wie oben bewiesen werden.

Tatsächlich müssen Quellen der Gewichtsveränderung in der berühmten Gleichung gesucht werden:$E=mc^2$. Die Energie des Sandes wird etwas geringer sein und so seine Masse.

Gleichzeitig könnte man bedenken, dass die Schwerkraft etwas größer ist, wenn man sich der Erdoberfläche nähert, also etwas mehr Gewicht abschleifen.

Beide Effekte sind bei weitem nicht messbar.

Tatsächlich ist das scheinbare Gewicht bei laufender Sanduhr größer als im Ruhezustand. Hier finden Sie eine ausführliche Beschreibung. Dieser Effekt wurde sogar experimentell bestätigt.

Kurz gesagt: Der Nettoeffekt der Strömung besteht darin, Sand von der oberen Oberfläche zu bewegen (wo er eine Abwärtsgeschwindigkeit hat$v$) auf den untersten Stapel, in Ruhe. Dadurch wird der Sand abgebremst und die Kraft auf der Waage ist höher als im Ruhezustand.

Angenommen, Sie stehen auf einem Turm, der eine Waage hat. Abspringen. Was zeigt die Skala an, während Sie in der Luft sind? (Nehmen Sie hier an, dass Sie auf der Waage landen, also gilt die Analogie zu Sandkörnern.)

Hier gibt es einiges zu beachten.

Erstens: Die "Sanduhr", wenn dieses Gefäß mit Luft gefüllt ist, werden die Ergebnisse viel komplexer zu bestimmen sein.

Zweitens beeinflussen der Durchmesser der Körner und ihre Gleichmäßigkeit die Messungen.

Drittens wirkt sich die Größe der Öffnung auch auf den Kornfluss aus.

Viertens, Die Empfindlichkeit der Waage in Bezug auf Zeit und Masse.

In einer perfekten Situation würde die Waage für jedes einzelne Korn fallen und spitzen, wenn es die Öffnung verlässt und im freien Fall beginnt und schließlich auf den Sand/Boden des Gefäßes trifft.

Nun zum Kern der Frage: Es wäre äußerst unwahrscheinlich, ich wage es zu sagen, unmöglich, dass eine Messung mit ausreichender Empfindlichkeit genau mit der exakten Geschwindigkeit des Sandflusses verschoben wird.

Nebenbei bemerkt, wenn Sie dieses Experiment durchdenken, während der Sandhaufen auf dem Boden wächst, verlieren Sie etwas Schwung, wenn das Korn auf andere trifft und sie zur Seite schiebt, was schließlich andere Körner oder den Boden treffen und weitere Spitzen verursachen würde.

Ich habe einmal über eine ähnliche Frage nachgedacht.

Stellen Sie sich einen hohlen (vollkommen starren) Massebehälter vor$M$in einem homogenen Gravitationsfeld gefüllt mit$N$identische Massenteilchen$m$im Inneren des Behälters als ideales Gas im Gleichgewicht herumwirbelt (nur dem äußeren Gravitationsfeld ausgesetzt). Lassen Sie den Behälter mit einer Waage in Kontakt kommen. Auch wenn die meisten Partikel meist nicht mit dem Behälter - und damit mit der Waage - in Berührung kommen, lässt sich zeigen, dass das von der Waage gemessene (zeitlich gemittelte) Gewicht des Behälters plus seiner "Füllung" ist genau

Diese ergibt sich aus der Berechnung der Differenz des Drucks an der Behälteroberseite und an der Behälterunterseite, die von den Partikeln im Gravitationsfeld ausgeübt wird.

Das finde ich bis heute erstaunlich und bemerkenswert.

Ich denke, mit der Zeit wird die Schicht auf dem unteren Teil der Sanduhr dicker. Als Ergebnis des freien Falls hat jedes nächste Korn eine geringere Geschwindigkeit, da es eine geringere Entfernung zurückgelegt hat. Wenn wir also bedenken, dass jedes Korn nach dem Auftreffen auf den Boden stoppt, nimmt die Stärke des Aufpralls jedes Korns ab Die Waage zeigt einen großen (im Vergleich zu anderen) Gewichtsverlust. Mit der Zeit zeigt sie einen geringeren Gewichtsverlust und zeigt schließlich das gesamte Gewicht des Systems in statischer Hinsicht an.

Ich würde glauben, dass sich das Gewicht ändert

Eine laufende Uhr hat aufgrund der Energie, die durch die Bewegung ihrer Teile entsteht, mehr Masse als eine gestoppte Uhr. Dies würde Ihrem Beispiel in etwa entsprechen. Die sich bewegenden Sandkörner haben kinetische Energie und es würde auch etwas Wärmeenergie durch Reibung entstehen. Die zusätzliche Energie bedeutet zusätzliche Masse. E=mc2

Der herabfallende Sand ändert nichts am Gewicht:

Stellen Sie sich ein einzelnes Sandkorn vor, das in die Sanduhr fällt. Das Korn fällt aufgrund der Anziehungskraft der Erde, aber die Erde wird durch die gleiche Kraft nach oben gezogen und gewinnt an Auftrieb! Wenn das Korn auf den Boden der Sanduhr trifft, verliert es seine Abwärtsbewegung. Wenn die Erde nicht auch ihren Aufwärtsimpuls verlieren würde, würde der Gesamtimpuls nicht erhalten bleiben. Das Sandkorn muss also einen Impuls auf den Boden der Sanduhr ausüben, der genau dem Impuls entspricht, den es beim Fallen nicht ausgeübt hat. Und dieser Impuls ist eindeutig sein Gewicht.