Nicht konstante Spannung im Seil

Stellen Sie sich eine Last vor, die an einem vertikalen Seil hängt:

• Das untere Teilchen trägt die Last.
• Das nächste Teilchen trägt dieses Teilchen plus die Last.
• Das übernächste Partikel trägt die beiden darunter liegenden Partikel plus die Last.
• Im Allgemeinen trägt ein Partikel alle darunter liegenden Partikel plus die Last.

Das obere Teilchen trägt eindeutig am meisten, während das untere Teilchen am wenigsten trägt.

Die Spannung nimmt durch das Seil nach oben zu, da die Partikel allmählich mehr Gesamtgewicht tragen. Nur im Spezialfall masseloser Teilchen - eines masselosen Seils - ist dies nicht der Fall, da mehr Teilchen kein zusätzliches Gewicht hinzufügen.

Hoffentlich können Sie es so verstehen: Sehen Sie, ob ein Objekt masselos ist ($m=0$), nach Newtons zweitem Bewegungsgesetz, wenn wir eine Kraft auf das Objekt ausüben, kann die Beschleunigung nicht definiert werden. (Etwas geteilt durch$0$ist nicht definiert.) Die Nettokraft auf das Objekt muss also Null sein, damit der Körper eine endliche, definierte Beschleunigung hat. Im Falle eines masselosen Seils muss die Nettokraft auf das Seil also Null sein, und die Nettokraft auf jeden kleinen Teil (Element) des Seils sollte Null sein, sodass die Spannung beispielsweise überall gleich wäre$T$. Wenn Sie nun ein Seil mit Masse haben (wie unter realen Bedingungen), erfährt das kleine Element auch eine Gravitationskraft durch die Erde! Die Spannung an jedem Punkt wäre also unterschiedlich und nimmt normalerweise zu, wenn wir nach oben gehen.

In einem Seil, das an einer festen Stütze hängt, würde sich eine nicht konstante Spannung entwickeln, wenn es eine "nicht vernachlässigbare" Masse hat. Lassen Sie uns zuerst diskutieren, warum eine solche Variation in der Spannung gefunden wird. Angenommen, Sie nehmen den unteren Rand des Seils als Ursprung und betrachten ein Längenelement$dx$auf Abstand$x$vom Boden. Analysieren Sie nun sein Freikörperdiagramm:

Lassen Sie uns nun die relevante Mathematik analysieren. Wie Sie sehen können, befindet sich das Seilelement im Gleichgewicht, daher sollten wir eine Nettokraft von "NULL" darauf haben. Daher haben wir$T+dT-T = \lambda g dx$was uns zu führt

Der obige Ausdruck zum Vereinfachen gibt uns$T(x) = \lambda gx_{0}$was eine lineare Funktion von ist$x$(unter der Annahme, dass die lineare Massendichte konstant ist).

Eine ähnliche Intuition kann uns sehr helfen. Teilen Sie für dasselbe Element das Seil in zwei Teile, einen darüber und einen darunter. Wir können sehen, dass die obere Masse ein Gewicht tragen muss, das gleich dem des unteren Teils ist (da die Masse des Elements vernachlässigbar ist), und daher können wir zu demselben Ergebnis kommen.

Andere Antworten hier sind angemessen, aber ich mag die folgende mentale Übung, um die Spannung in einem Seil aufgrund des Eigengewichts zu demonstrieren.

Beginnen Sie mit dem, was Sie wissen; ein schwereloses Seil einer Physikübung; Durchweg die gleiche Spannung, sagen wir, es hängt eine Last von 10 N an einem festen Punkt direkt darüber und ist in Ruhe, im Gleichgewicht.

Wir wollen daraus ein echtes Seil machen, aber langsam, ein kleines Stück nach dem anderen; wie ein Quadrat in einen Kreis zu verwandeln, indem man mehr Seiten hinzufügt.

Jetzt hat ein echtes Seil Masse$M_r$über seine Länge verteilt$L_r$so dass jede Länge des Seils$dL$wird eine äquivalente Masse haben$dM$

Um die Spannung an der Spitze des Seils zu berechnen, addieren Sie also zunächst nur das Gewicht des Seils$F_w=M_rG$Am Fuß des Seils, zusammen mit der Kraft von 10 N, hilft dies, Sie wissen jetzt, wie viel Seil und Last zusammen wiegen.

Aber dann wissen Sie, dass die Masse des Seils über die Länge des Seils verteilt ist, nicht ganz am Ende, also ist das nicht sehr realistisch.

Also brechen Sie die Masse auf, in beide Abschnitte$\frac{M_r}{2}$, und platzieren Sie einen am Ende, einen in der Mitte; wird langsam besser.

Jetzt; Die Spannung an der Spitze des Seils stimmt immer noch, das ist gut, aber die Spannung zwischen den beiden Massen ist etwas anders. Es muss sein, der untere Teil der Saite trägt nicht mehr die halbe Masse der Saite, also muss es weniger sein.

Sie können dann dieses Konzept nehmen und damit laufen, jedes Mal, wenn Sie diese Masse in kleinere Stücke zerlegen und entlang der Saite verteilen, ändert sich die Spannung je nachdem, wie viele Stücke über oder unter dem Punkt liegen, an dem Sie die Spannung messen.

Ich hoffe, dies hat Ihnen ein intuitiveres Gefühl für die Wirkung der kontinuierlichen Massenverteilung entlang einer Saite und ihre Auswirkung auf die resultierende Saitenspannung gegeben.

Für weitere Fragen stehe ich wie immer gerne zur Verfügung.

Wenn Sie an beiden Enden an einem masselosen Seil ziehen, muss die Spannung an jedem Punkt gleich sein. Warum?

Da die Nettokraft auf jedes Segment der Saite Null sein muss, da es sich um ein masseloses Objekt handelt, muss die Spannung an jedem Punkt gleich sein.

In einer Saite mit Masse können wir zwei unterschiedliche Kräfte an den beiden Enden der Saite anwenden, wodurch sie eine Nettobeschleunigung hat.

Nun muss die Spannung an jedem Punkt so sein, dass sie die Beschleunigung der Masse dieses Segments der Saite berücksichtigen kann.

Angenommen, ein String hat die Länge L und die konstante Massendichte g. Jetzt wenden Sie rechts eine Kraft F an. Die Beschleunigung der gesamten Saite ist (F/gL).

Wenn Sie die Spannung im Abstand L/4 von rechts finden möchten. Was wird es sein?

F - T = ma i. eT = F - (gL/4)*(F/gL) = 3F/4.

Sie nehmen einen anderen Abstand und die Spannung wäre anders, weil sie eine andere Länge der Saite mit sich zieht.

Stellen Sie sich die Zeichenfolge als viele, viele Blöcke vor, zwischen denen kleine Verbindungen angebracht sind.

Stellen Sie sich ein Seil vor, das eine endliche Masse hat und in einem schwerkraftfreien Raum platziert ist und eine konstante Geschwindigkeit hat. Nehmen Sie nun das Seil als Ihr System und üben Sie eine äußere Kraft auf ein Ende des Seils aus, dann trägt das Seil am Angriffspunkt eine gewisse Spannung der Kraft. Da das Seil das System ist, ist die Spannung die innere Kraft. Das gesamte Seil wird nun die gleiche Beschleunigung haben. Stellen Sie sich am Punkt der Krafteinwirkung einen infinitesimalen Abschnitt des Seils vor, nach Newtons drittem Gesetz wissen wir, dass der Abschnitt eine gleiche und entgegengesetzte Kraft auf den Agenten, der die Kraft ausübt. Da das gesamte Seil gezwungen ist, sich mit diesem infinitesimalen Abschnitt zu bewegen,dann würde dieser Abschnitt eine Kraft auf den benachbarten infinitesimalen Abschnitt des Seils ausüben, aber diese Kraft wäre geringer als die äußere Kraft selbst, da der Abschnitt des Angriffspunkts der äußeren Kraft selbst beschleunigt wird und die Beschleunigung des gesamten Seils gleich ist Auf die gleiche Weise würde die von diesen infinitesimalen Abschnitten ausgeübte Kraft in einer definierten Reihenfolge abnehmen, die anhand der Grundlagen der Analysis berechnet werden kann. Daher ist die Spannung in einem Seil mit endlicher Masse nicht überall gleich.