Ich weiß, dass der freie Fall im Vakuum unabhängig von der Masse ist. Aber was passiert in der Luft?

Sie müssen die Mechanik des Widerstands und den Widerstandskoeffizienten erforschen (beginnen Sie mit dieser Wiki-Seite).

Ein einfaches Modell (bei dem der Widerstand ein Ram-Druck ist ) hält den Widerstand proportional zum Quadrat der Geschwindigkeit. Dies lässt sich bei reinem Staudruck mit einfachen Impulserhaltungsgründen begründen. Der Luftwiderstandsbeiwert ist ein empirisch gefundener "Fudge-Faktor", der den reinen Staudruck multipliziert, um den Luftwiderstand zu erhalten.

Wenn der Körper also gerade nach unten fällt, ist die Nettokraft auf ihn nach unten gerichtet

$$F_\downarrow = m\,g - \frac{1}{2}\,\rho\,A\,c_d\,v^2\tag{1}$$

Wo$\rho$ist die Dichte der Flüssigkeit (Luft),$A$die horizontale Querschnittsfläche des Körpers (die der Strömung präsentierte Gesichtsfläche),$v$die Abwärtsgeschwindigkeit des Körpers und$c_d$der Widerstandsbeiwert. Sie können diese Koeffizienten nachschlagen.

Wenn wir also (1) in das zweite Newtonsche Gesetz einsetzen, erhalten Sie eine Differentialgleichung für die Abwärtsgeschwindigkeit:

$$\frac{\mathrm{d}\,v}{\mathrm{d}t} = v\,\frac{\mathrm{d\,v}}{\mathrm{d}x} = g - \frac{\rho\,A\,c_d}{2\,m} v^2\tag{2}$$

Wo$x$ist die gefallene Distanz. So etwas wie Mathematica gibt Ihnen explizite Lösungen für diese Gleichung. Wenn Sie sich mit Differentialgleichungen beschäftigt haben, ist (2) einfach von Hand zu lösen, um auch eine analytische Lösung zu erhalten. Alternativ könnten Sie diese Gleichungen numerisch in Ihr Programm integrieren, aber ich vermute, dass die expliziten Lösungen einfacher in Gang zu bringen sind.

Die gleichen Ideen sollten Ihnen genug geben, um eine Vektorbeschreibung der Dynamik abzuleiten, wenn es eine anfängliche horizontale Geschwindigkeitskomponente gibt.

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Die Antwort von R. Rankin enthält einen Term proportional zur Geschwindigkeit sowie den quadratischen Term. Dieser proportionale Begriff ist der viskose Widerstand , wie im Wiki-Artikel zum Gesetz von Stokes beschrieben (nicht zu verwechseln mit dem Satz von Stoke über Differentialformen). Ich glaube, dies ist ein ziemlich unbedeutender Begriff für Luft, aber letztendlich möchten Sie vielleicht Differentialgleichungen wie berücksichtigen

$$\frac{\mathrm{d}\,v}{\mathrm{d}t} = v\,\frac{\mathrm{d\,v}}{\mathrm{d}x} = g - \frac{\beta}{m}\,v-\frac{\rho\,A\,c_d}{2\,m} v^2\tag{3}$$

Diese können Sie auch analytisch von Hand lösen oder in Mathematica schieben.

Sie möchten Ihrer Kraftgleichung einen Widerstandsterm hinzufügen. Es wird komplizierter sein und die Geometrie der fraglichen Objekte betreffen. Beachten Sie auch, dass Ihre Annahme nicht immer zutrifft, dass ein Erwachsener in einem Fallschirm nicht schneller fällt als ein Kind ohne Fallschirm. {Haftungsausschluss: Nicht empirisch getestet !!!!} Sie haben einen Widerstandsbegriff wie:

$$\vec{F}_{drag}\propto-\alpha\vec{V}_{elocity}-\beta\mid\vec{V}_{elocity}\mid^{2}\hat{V}_{elocity}$$

Wo$\alpha$,$\beta$sind Funktionen der Geometrie, der Flüssigkeit und dergleichen (Druck und so weiter). Sie können diese Art von Dingen nachschlagen. Wenn Sie mehr in die Tiefe (und Genauigkeit) gehen möchten, sollten Sie sich Flüssigkeitsströmungsgleichungen wie die von Euler und Bernoulli ansehen.