Verzögerungsrate von Objekten unterschiedlicher Masse, aber ansonsten gleich

Sie haben die gleiche Widerstandskraft, der leichtere bremst schneller ab

Wenn ein Objekt (Ball) Masse$m$in Ruhe von einem anderen Masseobjekt elastisch getroffen wird$M$Fahrt mit Anfangsgeschwindigkeit$v$, dann ist die Geschwindigkeit nach dem Aufprall gegeben durch

Zwei Grenzfälle:$m=M$, maximale Energieübertragung (der Schläger stoppt und der Ball bewegt sich mit der Geschwindigkeit des Schlägers); Wenn$m<<M$, ist die Endgeschwindigkeit doppelt so hoch wie die Anfangsgeschwindigkeit (aber der Schläger behält den größten Teil seiner Energie).

Mit den angegebenen Werten befinden Sie sich in einem Zwischenbereich – der leichtere Ball bewegt sich unmittelbar nach dem Aufprall schneller, wird jedoch schneller abgebremst. Die Mathematik dafür ist in 2D kompliziert - aber wir können in 1D einige Fortschritte machen.

Die Widerstandskraft auf eine Kugel ist ungefähr gegeben durch

Wo$\rho= 1.2 kg/m^3, C_D=0.47, A= 0.0035 m^2$, So$F=0.002 v^2$.

Die Beschleunigung$a=F/m$Wie Sie sehen können, wird die leichtere Kugel schneller abgebremst. Die Bewegungsgleichungen werden

Wo$k=0.002/m$- es hängt von der Masse des Balls ab

Die typische Masse eines Tennisballs beträgt etwa 58 Gramm und die typische Geschwindigkeit etwa 30 m/s. Ein Schläger wiegt etwa 250 - 300 Gramm, also ist die zusätzliche Geschwindigkeit, die Sie für den leichteren Ball erhalten, gering - aber die Verzögerung ist real.

Runde Zahlen einsetzen:

Wenn ich ein Diagramm der Geschwindigkeit und Position als Funktion der Zeit für einen Ball mit 1 oz und 2 oz (nominal) zeichne, erhalte ich für die Position:

und für die Ballgeschwindigkeit:

Dies bestätigt, dass der leichtere Ball anfangs etwas schneller fliegt – aber dieser Luftwiderstand wird seinen Vorteil auf allen außer den kürzesten Distanzen schnell zunichte machen. Ich werde Graphen der obigen Funktion von x(t) hinzufügen, wenn ich in die Nähe eines Computers komme (auf einem Telefon schwer zu machen ...)

Wenn die auf jede Kugel ausgeübte Kraft gleich ist, dann wird sie beiden den gleichen Impuls geben, dann kann unter Verwendung von J = M(vu) gesehen werden, dass die leichtere Kugel eine höhere maximale Geschwindigkeit erreicht.

Danach erfahren die Bälle nun eine Widerstandskraft, abhängig von den getroffenen Annahmen können wir entweder davon ausgehen, dass die Widerstandskraft konstant ist, oder dass sie abhängig von der Komplexität der Kugel eine Funktion der Geschwindigkeit F = f(v) ist Modell, das wir verwenden.

So oder so können wir mit dem zweiten Newtonschen Gesetz, F = MA, die Beschleunigung auf jeder der Kugeln bestimmen. Von hier aus geht es darum, mithilfe von Kalkül die Zeit zu bestimmen, die zum Zurücklegen einer bestimmten Entfernung benötigt wird. In diesem Fall zweimal integrieren, ab hier geht es nur noch um Zahlenuntergliederung. Ich hoffe, dass dies geholfen hat.