Maximale Höhe für Endgeschwindigkeit, die für eine bestimmte Masse erreicht werden soll?

Die gleichung$v^2=u^2+2as$gilt nur für ein Objekt, das mit konstanter Beschleunigung beschleunigt$a$. Sobald Sie den Widerstand berücksichtigen, ist die Beschleunigung eines fallenden Objekts nicht konstant - sie beginnt bei$g$Wenn$t=v=0$, nehmen dann aber asymptotisch in Richtung ab$0$. Kannst du also nicht verwenden$v^2=u^2+2as$.

Ein fallendes Objekt mit Luftwiderstand erreicht niemals seine Endgeschwindigkeit$V_t$- es nähert sich ihm asymptotisch (so wie sich seine Beschleunigung nähert, aber nie erreicht$0$). Seine Geschwindigkeit zur Zeit$t$ist eigentlich gegeben durch

$\displaystyle v(t) = V_t \tanh \left( t \frac {g} {V_t} \right)$

Wir können dies umschreiben als

$\displaystyle v(t) = V_t \tanh \left( \frac t T \right)$

Wo

$\displaystyle T = \frac {V_t}{g} = \sqrt {\frac {2m}{g \rho A C_d}}$

$\tanh(1) \approx 0.762$, also zur Zeit$t=T$das fallende Objekt erreicht haben wird$76.2\%$seiner Endgeschwindigkeit; zum Zeitpunkt$t=2T$es wird erreicht haben$96.4\%$seiner Endgeschwindigkeit; und zur zeit$t=3T$es wird erreicht haben$99.5\%$seiner Endgeschwindigkeit.

Das kenne ich auch$v^2 = u^2 + 2as$.

Leider ist diese Argumentation falsch, denn hier $v$ändert sich augenblicklich mit der Zeit.

Die Newtonsche Bewegungsgleichung des fallenden Objekts lautet:

Diese Differentialgleichung zeigt, dass mit zunehmender Geschwindigkeit des Objekts seine Beschleunigung zunimmt$a=\dot{v}$nimmt allmählich ab, bis es wird$0$wenn die Endgeschwindigkeit erreicht ist.

@gandalf61 hat Lösungen für bereitgestellt$(1)$.