Endgeschwindigkeit nach vertikalem Start

Die Bewegungsgleichung unter Berücksichtigung des linearen Widerstands lautet (Achse nach oben ausgerichtet)

$$m\frac{dv}{dt}=-mg-bv.$$ Die Endgeschwindigkeit $v_t$erhält man wann $\frac{dv}{dt}=0$, dh $$v_t=-\frac{mg}{b}.$$ Lösen mit der Anfangsbedingung $v(0)=v_0$wir bekommen $$v(t)=v_t(1-e^{-bt/m})+v_0e^{-bt/m}.$$ Wenn die Anfangsgeschwindigkeit (der Größe nach) gleich der Endgeschwindigkeit ist, dann $$v(t)=v_t(1-2e^{-bt/m}).$$ Dann $v(t)=v_t$impliziert $0=e^{-bt/m}$. Diese Gleichheit wird nur für erfüllt $t\rightarrow\infty$, dh das Teilchen wird beim Fallen seine Endgeschwindigkeit nicht erreichen.

Die Antwort von Diracology ist vollkommen richtig, aber ich denke, eine andere Möglichkeit, die Frage zu beantworten, besteht darin, die Geschwindigkeit des fallenden Teilchens explizit zu berechnen, wenn es auf die Höhe zurückfällt, aus der es gestartet wurde. Die letzte Gleichung der Dirakologie geht davon aus, dass das Partikel für immer unter das Niveau fallen kann, von dem es gestartet wurde, und dass die Geschwindigkeitszunahme monoton ist. Daher sehen wir, dass die Geschwindigkeit des Partikels, wenn es durch seine Anfangshöhe zurückfällt, um einen Betrag ungleich Null geringer ist als die Startgeschwindigkeit .

Methode 1 (qualitative Berechnung) : Die anfängliche kinetische Energie des Körpers ist$E_0=\frac{1}{2}\,m\,v_0^2>0$. Das Schwerkraftfeld ist konservativ. Deshalb wechseln$\Delta U$im Gravitationspotential bis zu dem Zeitpunkt, an dem der Körper auf seine ursprüngliche Höhe zurückfällt, ist Null. Die Widerstandskraft wirkt zu jeder Zeit gegen die Geschwindigkeit des Körpers. Daher arbeitet der Körper an der Luft, so dass er, wenn er seine anfängliche Höhe erreicht, einen gewissen Betrag ungleich Null verloren haben muss$E_d$seiner Gesamtenergie. Wir haben also Potentiale relativ zur Anfangshöhe gemessen$E_0 - E_d + \Delta U = \frac{1}{2}m\,v_f^2$, Wo$v_f$ist die gesuchte Geschwindigkeit. Deshalb sehen wir das$v_f < v_0$und dass die Differenz nicht Null ist.

Diese qualitative Methode hat den Vorteil, dass sie unabhängig von der funktionalen Form ist$f(v,\,\cdots)$des Widerstands (z. B. der Staudruckwiderstand variiert wie$v^2$und möglicherweise hängt der Luftwiderstand auch von der Position ab); Das einzige, was wir wissen müssen, ist, dass der Luftwiderstand der Bewegung jederzeit entgegenwirkt.

Methode 2 (quantitativ) : Schreiben Sie die Bewegungsgleichung der Dirakologie in der Form:

$$m\,v\,\,\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d} y} = -m\,g - b\,v$$

Wo$y$ist die Höhe. So schließen

$$\frac{m}{b}(v-v_0) - \frac{m^2\,g}{b^2} \,\log\left(\frac{m\,g+b\,v}{m\,g+b\,v_0}\right) = -y$$

und finden Sie die zweite Lösung$v_f$für$y=0$, dh wenn der Körper auf die Ausgangshöhe zurückkehrt$y=0$(der erste ist natürlich$v=v_0$). Dies ist eine transzendente Gleichung in$v$, aber es kann manipuliert werden, um das zu zeigen$v<v_0$(Schreiben Sie die Bedingung für$y=0$in der Form$b\,(v-v_0) = m\,g\log\left(\frac{m\,g+b\,v}{m\,g+b\,v_0}\right)$und zeigen Sie, dass die beiden Seiten nur dann das gleiche Vorzeichen haben können, wenn entweder die beiden Null sind ($v=v_0$, unsere erste Lösung) oder strikt$v<v_0$).

Offensichtlich nein, durch Nichterhöhung der Energie (Schlepp erzeugt immer negative Arbeit). Wenn das Objekt in einer positiven Höhe seine Startgeschwindigkeit erreichen würde (was auch immer das war, die Endgeschwindigkeit ist für dieses Argument irrelevant), hätte es seine anfängliche kinetische Energie erhalten und potentielle (Gravitations-) Energie gewonnen, also etwas positive Arbeit hat durchgeführt werden. Aber Drag (allein) kann das nicht.

(Dies wird im Grunde auch in der Antwort von Rod Vance gesagt, aber ich denke, wenn eine Erklärung ohne Formeln existiert, lohnt es sich, sie zu geben.)