Ah, das gibt mir die Chance, einer Analyse, die ich zuerst auf Reddit gepostet habe, ein angemessenes Zuhause zu geben . (Ich hätte es viel lieber zuerst hier gepostet :-P)

Mathematische Ableitung

Alles beginnt mit einem Blogbeitrag, den ich geschrieben habe und der der genauen Frage, die Sie stellen, sehr nahe kommt. In dem Beitrag habe ich berechnet, wie schnell sich ein Objekt bewegen würde, nachdem es um eine bestimmte Entfernung gefallen ist, unter der Annahme eines quadratischen Widerstands. Aber eine der Formeln, die ich verwendet habe, um zu diesem Ergebnis zu gelangen, ist die Zeit, die ein Objekt benötigt, um eine bestimmte Entfernung zu fallen.

Hier ist das Argument aus meinem Beitrag. Wenn Sie Newtons zweites Gesetz für ein Objekt aufschreiben, das durch die Luft fällt, erhalten Sie

dh Widerstandskraft minus Gravitationskraft ist gleich Masse mal Beschleunigung. In dieser Gleichung$m$ist die Masse des Objekts,$A$ist die Querschnittsfläche, die es darstellt,$C$ist der Luftwiderstandsbeiwert des Objekts ,$\rho$ist die Dichte der Flüssigkeit, durch die es fällt,$g$ist die Erdbeschleunigung, und$y$ist seine Höhe zu einem bestimmten Zeitpunkt. Lösen Sie diese Gleichung für$\dot{y}$gibt

Diese kannst du dann zeitlich integrieren und nach auflösen$t$bekommen

Ein paar weitere Schritte werden in meinem Blogbeitrag gezeigt, aber sie sind nicht wirklich wichtig. Der Punkt ist, dass diese Formel die Zeit angibt$t$Es dauert, bis ein Objekt eine Strecke fällt$h - y$.

Sie werden feststellen, dass die Eigenschaften des fallenden Objekts in dieser Formel nur als Teil der jeweiligen Kombination vorkommen$\frac{CA\rho}{2m}$. Das Verhalten eines fallenden Objekts kann also vollständig durch dieses Verhältnis charakterisiert werden. Wenn Sie dieses Verhältnis nennen$r$, dann wird die Formel

Für ein paar Beispielwerte von$h - y$, so sieht das als Funktion von aus$r$:

Sie werden feststellen, dass die Zeit zum Fallen einer bestimmten Entfernung mit steigenden Werten von immer länger wird$r$. Je größer also der Wert eines Objekts ist$\frac{CA\rho}{2m}$, desto länger dauert es zu fallen. Umgekehrt ist ein Objekt mit einem kleineren Verhältnis von Querschnittsfläche zu Masse (d. h. kleiner$r$, bei gleicher Form) fallen schneller.

Grob gesagt neigt eine dicke Person dazu, in allen drei Dimensionen größer zu sein als eine dünne Person. Ihre Masse wird also ungefähr um den Faktor größer sein$k^3$für einige$k$, während ihre Querschnittsfläche nur um größer wird$k^2$. (Dies ist natürlich eine große Annäherung, aber es sollte immer noch für die Frage "schneller" vs. "langsamer" funktionieren.) Dementsprechend gilt:$r$für eine dicke Person wird kleiner sein (um einen Faktor von$k$), was bedeutet, dass sie weniger Zeit zum Fallen brauchen.

Physikalische Deutung

Das ist alles schön und gut, aber nur durch die Mathematik wird nicht unbedingt klar, warum (körperlich) dicke Menschen schneller fallen. Der springende Punkt der Erklärung liegt in diesem letzten Absatz: Eine dicke Person hat im Verhältnis zu ihrer Oberfläche eine größere Masse. Da die Widerstandskraft proportional zur Fläche, das Gewicht jedoch proportional zur Masse ist, nimmt das Gewicht (nach unten gehen) einer Person stärker zu als die Widerstandskraft (nach oben), was bedeutet, dass die Person stärker beschleunigt.

Mehr Mathematik: Verlangsamungsfaktor

Was ist nun mit diesem "Verlangsamungsfaktor", den sich Wolfram Alpha einfallen lässt? Wenn Sie nach unten auf die Ergebnisse schauen, sehen Sie, dass der Verlangsamungsfaktor nur das Verhältnis der tatsächlich benötigten Zeit zum Fallen ist, die ich Ihnen oben gezeigt habe, wie man sie berechnet, zu der Zeit, die ohne Luftwiderstand benötigt würde. Sie können die letztere Zeit durch Einstellung erhalten$C$,$A$, oder$\rho$auf Null, oder die Grenze als nehmen$m\to\infty$. (Ist es sinnvoll, warum alle diese Aufgaben darauf hinauslaufen, die Wirkung der Luft unbedeutend zu machen?) Oder Sie könnten natürlich genauso gut nehmen$r\to 0$. Nun, bevor Sie sich fragen, wie Sie davonkommen, wenn Sie die Quadratwurzel von ziehen$\frac{1}{0}$, müssen Sie tatsächlich ein Limit und das Limit von nehmen$t$wie$r\to 0$ist wohldefiniert:

Die Formel für den Verlangsamungsfaktor lautet dann

Dies hängt nur vom Produkt des "Schleppverhältnisses" ab$r$und die Höhe gefallen$h - y$. Im Wesentlichen ist es eine Möglichkeit zu charakterisieren, wie stark das Vorhandensein von Luftwiderstand die Flugzeit beeinflusst.

Die Widerstandskraft ist nicht stark von der Masse des fallenden Objekts abhängig.

Nehmen wir also zwei Objekte mit Masse$m$und$M$wo$M > m$, und davon gehen wir aus$F_{m,\,drag} \approx F_{M, \, drag}$dann sieht man dass die beschleunigung an$M$kleiner als die Beschleunigung ist$m$.

Die Annahme der gleichen Oberfläche ist wahrscheinlich falsch, aber trotzdem deutet das Verhältnis von Fläche zu Volumen darauf hin, dass der fette Typ ein wenig voraus sein wird.

Es ist nur so, dass die Gegend ungefähr vorbeigeht$(\mathrm{volume})^{\frac{2}{3}} \propto (\mathrm{mass})^{\frac{2}{3}}$(unter der Annahme einer ungefähr gleichen Dichte), während die nach unten gerichtete Kraft jedoch proportional zur Masse ist, sodass erwartet werden kann, dass die Endgeschwindigkeit etwas höher ist.

In der einfachsten Situation ist die Antwort sehr einfach. Betrachten wir der Einfachheit halber zwei gleich große Kugeln, eine aus Eisen und die andere aus Kunststoff. Bei Vorhandensein von Luftreibung berührt beim Loslassen der beiden Kugeln aus der Ruhe in einer bestimmten Höhe die Eisenkugel zuerst den Boden. Dafür gibt es zwei Gründe: 1) Die Beschleunigung der Eisenkugel ist größer als die Beschleunigung der Kunststoffkugel. 2) Die Endgeschwindigkeit der Eisenkugel ist größer als die Endgeschwindigkeit der Kunststoffkugel.

Um die letzten Aussagen zu verstehen, zeichne einfach ein Kraftdiagramm, mit Gravitationskraft nach unten und Luftreibung nach oben und wende das zweite Newtonsche Gesetz an. Da die Stärke der Luftreibung nicht von der Masse des fallenden Objekts abhängt, kommt es vor, dass Beschleunigung und Endgeschwindigkeit von der Masse des Objekts abhängen. Dies gilt natürlich nicht auf dem Mond, wo es keine Luftreibung gibt.

Ignorieren von Fettkörpern und Behandeln dieser als Kugeln unterschiedlicher Größe mit gleicher Dichte:

Unter Verwendung der empirischen Gleichung für die Widerstandskraft gilt: Je größer die Kugel, desto größer die

Endgeschwindigkeit.

Außerdem hat die größere Kugel bei jeder gegebenen Geschwindigkeit eine größere Beschleunigungsrate.

Also: Die größere Kugel hat eine größere Beschleunigung und Endgeschwindigkeit, kommt also voran und bleibt vorne.

Dicke Personen fallen im freien Fall viel schneller, wenn die Oberfläche gleich ist. Aus dem gleichen Grund sinkt ein Bleigewicht in einem Schwimmbecken schneller ab als ein Bleigewicht mit geringerer Masse (und gleicher Oberfläche). Luftwiderstand ist nichts anderes als der Widerstand der Luft, die das Objekt durchdringt. Der Luftwiderstand nimmt mit der Luftmasse zu, die die Person in einer Sekunde verdrängt. Jede Sekunde des Abstiegs wird die dickere Person viel weiter fallen, bevor die Luftmasse, die sie verdrängt (ziehen), gleich ihrer Masse ist; An diesem Punkt hat Fatty seine Endgeschwindigkeit erreicht.