Äquivalenz von Intervallen mit Oktaven dazwischen

Angenommen, wir spielen gleichzeitig C4 und G4 auf dem Klavier, stoppen die Noten, spielen dann D4 und A4 gleichzeitig, dann ist die Qualität dieses Klangs dieselbe wie die Qualität des ersten.

Um zu verstehen, warum das so war, habe ich etwas über reine Intonation und gleichschwebende Stimmung gelesen.

Physikalisch erzeugen wir Wellen, die sich durch die Luft bewegen, also ging ich zur Vereinfachung zu einem Programm namens desmos, wo man Wellen simulieren kann.

Ich konstruierte dort eine analoge Situation, indem ich zunächst vorgab, dass eine Note mit einer Frequenz von 2 Pi (der Standardperiode einer Sinuswelle) eine Note im System der gleichen Stimmung sei.

Als nächstes müssen wir, um eine Note zu erzeugen, die eine perfekte Quinte über dieser Note ist, die ursprüngliche Frequenz mit 2^(7/12) multiplizieren, dies entspricht sieben Halbtönen nach oben, was die Definition einer perfekten Quinte ist.

Dann, da das Klavier Hämmer verwendet, die Saiten vibrieren lassen, und dann, wenn sich die Druckwellen in der Luft addieren, bevor sie unsere Ohren erreichen, werde ich die Summe der ursprünglichen Sinuswelle und der zweiten Sinuswelle nehmen, die eine Frequenz hat, die 2 ^ ( 7/12) mal die ursprüngliche Wellenfrequenz, das ist es, was f1(x) + g1(x) auf Desmos darstellt.

Als nächstes, um die gleiche Situation darzustellen, aber mit beiden Tönen um zwei Halbtöne erhöht, führe ich das gleiche Experiment durch, aber mit f1(2^(2/12)*x) + g1(2^(2/12)*x) (in desmos Ich mache zwei neue Funktionen und gebe ihr einen Offset, damit Sie sie weiter unten sehen können). Visuell können wir sehen, dass die durch diese Summe erzeugte Welle identisch mit der ersten ist, jedoch mit einer Skalierung in x-Richtung.

Mathematisch können wir sehen, dass die neue Welle nur eine Periode hat, die das 1/(2^2/12)-fache der ursprünglichen Periode beträgt. Da die Periode kürzer ist, entspricht dies einer höheren Frequenz und Tonhöhe, sodass das Zusammenspielen dieser beiden Noten tatsächlich die exakt gleiche Qualität haben sollte, nur eben höher.

Nachdem ich dies getan hatte, fragte ich mich, warum wir beim Stimmen von Akkorden auf dem Klavier normalerweise Noten um Oktaven verschieben dürfen, damit die Stimme klarer wird, ohne den Akkord tatsächlich zu ändern.

Betrachten wir dazu eine ähnliche Situation wie die erste, die wir gemacht haben. Angenommen, wir spielen C4 und G4, dann sollte, basierend auf dem, was ich gelernt habe, das Spielen von C4 und G5 auch eine Welle mit der gleichen Qualität erzeugen.

Experimentell würden wir die von f(x) + g(x) erzeugte Welle und dann f(x) + g(2x) vergleichen, da dies eine Verschiebung um eine Oktave nach oben darstellt.

Danach hatten die Wellen, die durch die beiden obigen Summationen erzeugt wurden, völlig unterschiedliche Qualitäten:

unterschiedliche Qualitäten

Kann jemand erklären, warum C4 und G4 gleichzeitig gespielt werden und C4, das mit G5 gespielt wird, beide ähnliche Eigenschaften haben sollten?

Der Begriff „Qualität“ beschäftigt mich. Es ist kaum ein objektiver Begriff und könnte vielen verschiedenen Konnotationen unterliegen.
Richtig – Wenn ich in meinen Texten von Qualität spreche, meine ich die Form der erzeugten Welle. Ich sagte, dass die letzten beiden unterschiedliche Qualitäten haben, weil Sie sie nicht entlang der x-Achse skalieren können, um die andere zu erzeugen. Ich versuche nur, mich damit auseinanderzusetzen, warum wir diese Intervalle um Oktaven verschieben können und trotzdem denselben Akkord darstellen.
Es wäre besser, wenn Sie auch mindestens zwei Zyklen/Perioden der zweiten Welle sehen könnten.
@ElementsinSpace, ja - ich habe den Tippfehler korrigiert. Die zweite Welle kann mit so vielen Zyklen wie nötig gesehen werden, indem Sie dem Link folgen - desmos.com/calculator/werca8k9vm
@cuppajoeman ah ja, ich hätte einfach auf die Links in der Frage klicken sollen. Danke
Möglicherweise verwandte Frage: music.stackexchange.com/questions/44783/…

Antworten (3)

Ich denke, Ihre Verwirrung kommt von der Tatsache, dass Sie zum Vergleich Sinuswellen erzeugen.

Sinuswellen eignen sich hervorragend, um konstruktive und destruktive Interferenzen zu verstehen, aber sie sind ziemlich weit entfernt von dem, was ein Klavier erzeugt.

Bei jedem "realen" Instrument besteht die erzeugte Schallwelle sowohl aus der Grundtonhöhe als auch aus allen Obertönen. Es ist die Variation der Obertonverteilung (die relative Intensität jedes Obertons im Verhältnis zum Grundton), die die Klangfarbe erzeugt.

Wenn Sie C4 auf dem Klavier spielen, erzeugt das Klavier eine Mischung aus C4, C5, G5, C6, E6, G6, Bb6, C8 ... die erzeugten Tonhöhen stimmen nicht genau mit der von uns verwendeten 12TET-Stimmung überein die Obertöne ab E6 sind etwas "verstimmt", aber auch die Obertöne werden nach oben hin schwächer.

Da die eigentliche Welle für C4 C5 und G5 umfasst, stimmen die Komponenten der Welle gut mit D4 und A4 überein – sie unterscheiden sich nur durch die Intensität ihrer Verteilung. Mit anderen Worten, die Spitzen und Täler befinden sich an genau denselben relativen Positionen, aber die Amplituden variieren ein wenig.

EDIT: Einige Illustrationen könnten helfen. Hier ist eine perfekte Quinte mit nur Fundamentalwerten .

Hier ist ein "echtes" Instrument mit einem Grundton und drei Obertönen . Jeder Oberton hat 50 % der Intensität des vorherigen.

Und hier ist dieses "echte Welt"-Instrument neben einem Grundton, der eine Zwölftel höher ist - die Quinte in der nächsten Oktave - ohne Obertöne.

Das alles ist immer noch einfacher als das, was bei echten Instrumenten passiert, aber Sie können sehen, wie die Höhen und Tiefen zusammenfallen.

Ahh, das hilft wirklich, ich habe gerade ein neues Desmos-Experiment gemacht, bei dem Sie die Summe der beiden mit Obertönen und ohne vergleichen können. Das Setup ist die Summe einer Note und einer Note k Halbtöne höher. Rot ist nur Grundton, Schwarz mit 0,5 Deckkraft hat 3 Obertöne. Orange ist die Summe einer Note und einer Note k + 12 Halbtöne höher mit denselben 3 Obertönen. Ich habe sie übereinander gelegt - und Sie können sehen, dass sie ziemlich anständig zusammenpassen. ( desmos.com/calculator/qqrpbgdmi1 - ändern Sie k, um verschiedene Wellen zu sehen).
Nach all dem habe ich jedoch noch eine Frage, würde dies bedeuten, wenn Sie eine Art Keyboard hätten, das nur reine Sinuswellen erzeugt, und Sie es über Kopfhörer anhören würden, die eine perfekte Quinte spielen, und dann eine perfekte Quinte mit einem Extra spielen Oktave zwischen ihnen, dass die Wellen wie das Bild unten in meinem ersten Beitrag aussehen würden, und da es dann keine Obertöne gibt, hätte es nicht immer noch die Eigenschaften der perfekten Quinte? Würde das bedeuten, dass elektronische Instrumente die Obertöne synthetisch hinzufügen müssen, damit es richtig klingt?
Sie können Tongeneratoren so einrichten, dass sie reine Sinuswellen erzeugen. Aber die meisten elektronischen Instrumente fügen tatsächlich Obertöne hinzu, weil reine Sinuswellen zum Musizieren nicht besonders nützlich sind. Die Gegenüberstellung von zwei Sinuswellen sollte wie Ihr Bild aussehen. Wie es sich anhört, ist ein ganz anderer Wurm, denn wir würden uns der Psychoakustik nähern.
Ich verstehe. Endlich auf einer E-Gitarre, wie sind da die Grundlagen enthalten? Ich weiß, dass das Signal ein Analogon der vibrierenden Saite ist, aber ich dachte, dass die Harmonischen vom Körper des vibrierenden Instruments kommen. Werden Harmonische auch von den Saiten selbst erzeugt?
Diese Antwort impliziert, dass die Antwort auf die Frage von OP, "warum wir beim Stimmen von Akkorden auf dem Klavier normalerweise Noten um Oktaven verschieben dürfen, damit die Stimme klarer wird, ohne den Akkord tatsächlich zu ändern", lautet, dass diese lockeren Stimmen eine Folge von sind Obertöne realer Instrumente und funktionieren nicht mit reinen Sinuswellen. diese Implikation ist völlig falsch.
@cuppajoeman - die Obertöne kommen von der Saite. Bei einer vibrierenden Saite bewegt sich die "Welle" der Vibration von dem Punkt, an dem sie gezupft wird, in beide Richtungen, und nachdem sie von der Mutter / dem Sattel reflektiert wurde, stört sie sich selbst. Das ist etwas vereinfacht, aber die Obertöne werden nicht vom Körper erzeugt.
@Esther - du liest etwas hinein, das nicht da ist. Das OP hat nicht nach Klavierakkord-Voicings gefragt, und ich habe sie nicht angesprochen. Die Frage bezieht sich auf die Akustik und insbesondere darauf, warum ein 12. und ein 5. anders interagieren. Die Antwort ist, dass es für Sinuswellen gilt, aber weit weniger für jedes Instrument, weil sie auch Obertöne erzeugen.
Ich habe den relevanten Teil der Frage direkt zitiert.
@Esther - Wenn Sie auf den Link in seinem Satz "Betrachten wir eine ähnliche Situation" geklickt haben, würden Sie sehen, dass sich die gestellte Frage, die dieser Aussage folgte, auf die Wechselwirkung reiner Sinuswellen in 12TET bezieht, nicht auf Klavierstimmen. Ich habe die Frage angesprochen, die er tatsächlich gestellt hat, und nicht das, was Sie als relevant empfunden haben.

Die Idee, dass Sie eine Note in einer anderen Oktave spielen können, und es wird im Grunde die gleiche Note sein und die Harmonie nicht ändern, wird als „ Oktaväquivalenz “ bezeichnet. Beachten Sie, dass es nicht "Oktavgleichheit" genannt wird. Wenn Leute sagen, dass Sie die Stimmlage eines Akkords ändern können, indem Sie Noten um eine Oktave nach oben oder unten verschieben, behaupten sie nicht, dass Sie genau denselben Klang erhalten, nur dass sich die grundlegende Harmonie nicht ändert. (Und selbst dann, wenn Sie ändern, welche Note die Bassnote oder die höchste Note ist, dh wenn die andere Akkordstimme eine andere Akkordumkehrung ist, kann dies sehr wohl Ihre Wahrnehmung der Harmonie verändern.)

Ich denke nicht, dass die Wahl der Terminologie der "Oktaväquivalenz" so wichtig ist. (Schließlich ist Gleichheit eine Äquivalenzrelation?)
@Edward vielleicht wurde der Wortlaut bei der Erfindung des Begriffs nicht so sorgfältig gewählt, aber er macht Sinn. Gleichheit ist nicht nur eine Äquivalenzbeziehung, es ist die Äquivalenzbeziehung, die alle Äquivalenzbeziehungen beherrscht. (a=b ⇒ a~b). Aber die meisten Äquivalenzen sind eher „gemeinsame Merkmals“-Beziehungen, und dies ist tatsächlich der Fall für die Oktaväquivalenz.

Die Antwort zur Oktaväquivalenz ist im Wesentlichen richtig, aber um diese Antwort noch einen Schritt weiter zu gehen: Die Art und Weise, wie wir Noten wahrnehmen, ist seltsam und spiegelt die „zugrundeliegende physikalische Realität“ von Schallwellen nicht genau wider (z. B. sind Pauken gestimmt, aber Schlagzeuge sind nicht 't, obwohl Toms eindeutig eine Grundfrequenz wie eine Pauke haben; und tatsächlich hören wir manchmal Schlagzeuge nur dann als gestimmt , wenn der Kontext uns dazu ermutigt); und die Musiktheorie arbeitet mit einer Reihe willkürlicher Kategorisierungen, die dieser subjektiven Wahrnehmung aufgesetzt sind. Das heißt, Wellendiagramme geben keinen wirklichen Einblick in Fragen zur Intervalläquivalenz.

Die "wissenschaftlichste" Antwort auf "Warum ist eine perfekte 12. Harmonisch dasselbe wie eine perfekte 5." ist "Oktaväquivalenz"; aber der Empirismus kämpft hier, weil:
(a) unser Konzept der "Gleichheit" hier willkürlich definiert ist, sie sind "gleich", weil, idk, es den Musikgenuss der Menschen nicht zu beeinträchtigen scheint, wenn wir sie als gleich behandeln , und
(b) "perfekte Quinte" sich auf eine viel größere Vielfalt von Intervallen beziehen kann, als Sie vielleicht erwarten, gibt es keine präzise mathematische Definition von "perfekter Quinte", die tatsächlich die große Vielfalt von Klängen abdeckt, die in Wirklichkeit als "perfekte Quinten" gelten -Weltmusik.

Die Wellen würden fast gleich aussehen, wenn wir im OP perfekte Quinten in einem "perfekten" pythagoreischen 3: 2-Verhältnis anstelle des 12TET-Verhältnisses verwenden, oder? Ich denke nicht, dass Ihre Aussage, dass "es keine präzise mathematische Definition von 'perfektem 5.' gibt, die tatsächlich die große Vielfalt von Klängen abdeckt, die in der realen Musik als 'perfekte 5.' gelten", hier wirklich von Bedeutung ist.
@Dekkadeci Ja, aber ich denke, OP hat Recht, die Verhältnisse zu verwenden, die wir tatsächlich in der Musik spielen, und nicht eine Annäherung, die zufällig historisch relevant ist. Das heißt, vorausgesetzt, sie fragen überhaupt nach Musik, eine überraschend kontroverse Position, gemessen an der Popularität der Top-Antwort.
Zumindest wenn Barbershop-Quartette ein Hinweis sind (diese verwenden nur die Intonation für diese berühmten 7. Barbershop-Akkorde), vermute ich stark, dass wir 3: 2-Verhältnisse für perfekte 5. singen, und es ist das 12TET-Verhältnis, das die Annäherung ist.
@Dekkadeci Der Punkt ist, dass OPs bemerkt haben, dass in einem Großteil der realen Musik (sicher, nicht in allen, Barbershop-Quartett und Streichquartett sind bemerkenswerte Ausnahmen) die Schallwellen, die einem perfekten 12. entsprechen, ganz anders aussehen werden die Schallwellen, die einer perfekten Quinte entsprechen. Ihre Frage – soweit ich das beurteilen kann – ist, warum wir sie trotz dieser Diskrepanz als gleichwertig wahrnehmen. Die Tatsache, dass Intervalle nicht auf eine einzige definitive/kanonische Wellenform reduziert werden können, erscheint in diesem Zusammenhang relevant.
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