Alice im Wunderland und Systeme mit quadratischem Potential

Der Lehrer meines Sohnes bat mich, den Kindern etwas über das Pendel und seine Beziehung dazu zu erzählen, durch die Erde zu fallen und zu schwingen (sie haben Alice im Wunderland gelesen).

Da beide durch einen harmonischen Oszillator angenähert werden können, dachte ich, ich würde ihnen einige äquivalentere Systeme vorstellen, insbesondere das einer Punktmasse, die sich in einem parabolischen Tal bewegt, dem einfachsten quadratischen Potential. Mir wurde schnell klar, dass dies eigentlich kein harmonischer Oszillator ist: let X sei die horizontale Position eines punktförmigen Masseteilchens M in einem gleichmäßig nach unten gerichteten Gravitationsfeld mit Gravitationskonstante G , und betrachten Sie ein Tal, das am Ursprung zentriert ist, mit einem Höhenprofil H ( X ) .

Wenn ich keine Fehler gemacht habe, ist die Lagrange-Funktion dieses Systems

L ( X , X ˙ ) = 1 2 M X ˙ 2 ( 1 + H ' ( X ) 2 ) − M G H ( X ) .

Die Euler-Lagrange-Gleichung lautet (Ausklammern M )

X ¨ ( 1 + H ' ( X ) 2 ) − X ˙ 2 H ' ( X ) H ″ ( X ) + G H ' ( X ) = 0.

Für eine quadratische Höhenfunktion, wie z H ( X ) = 1 2 X 2 , das wird

X ¨ ( 1 + X 2 ) − X ˙ 2 X + G X = 0.

Ich weiß nicht wirklich, wie ich das lösen soll, aber die Lösung ist zwar offensichtlich (aus dem physikalischen Problem) oszillierend, aber nicht harmonisch.

Auf der anderen Seite muss es eine Lösung geben H ( X ) wofür wir eine harmonische Lösung erhalten.

Meine Fragen (vorausgesetzt, das Vorhergehende ist richtig):

  • Hätte von vornherein klar sein können, dass es sich nicht um einen harmonischen Oszillator handelt? Offensichtlich haben wir ein Potential, das in der Konfigurationsraumkoordinate quadratisch ist, aber es scheint, dass die Abhängigkeit vom kinetischen Term auf X , X ˙ ist nicht das Richtige.
  • Wofür H ( X ) würden wir einen harmonischen Oszillator bekommen?
Sehr cool! Ein weiterer unerwarteter harmonischer Oszillator ist ein Zug, der durch einen Minenschacht fährt, der schräg durch die Erde gebohrt ist (wobei das Zentrum fehlt - denken Sie an Paris -> London statt an London -> Sydney). Die Schwingungsdauer ist unabhängig von den Endpunkten!
Siehe auch diese frühere Antwort , die genau dieses Szenario behandelt.

Antworten (1)

Da der harmonische Oszillator dadurch gekennzeichnet ist, dass die Periode unempfindlich gegenüber der Amplitude ist, können wir dieses Problem als äquivalent zu dem bekannten (und gelösten) Tautochronen- (oder Isochronen-) Problem verstehen.

Das Ergebnis ist eine parametrisch geschriebene Zykloide als

X = Sünde ⁡ ( 2 θ ) + 2 θ 8 j = 1 − cos ⁡ ( 2 θ ) 8 ,
und der Wikipedia-Artikel zeigt, dass eine Konstruktion zum Bauen ein tautochrones Pendel ist.

Ich fürchte, Sie müssen kreativ sein, um daraus eine fruchtbare Diskussionslinie für eine Präsentation für Schulkinder zu machen.

Danke, das ist ein sehr cleverer Ansatz. Machen Sie sich keine Sorgen um die Präsentation, ich werde höchstens versuchen, die Form des Brunnens zu zeichnen.
Schöne Antwort auf die zweite Frage. Es ging nicht auf den ersten Teil ein: "Hätte es von Anfang an klar sein können ...?" Die Antwort ist "ja", weil sich die Masse entlang der parabelförmigen Flugbahn bewegt . Die Geschwindigkeit, mit der es Energie "aufnimmt", während es eine bestimmte Strecke entlang des Bogens zurücklegt, ist keine parabolische Funktion der Verschiebung entlang des Bogens.
Alice im Wunderland und Systeme mit quadratischem Potential
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