Anfangsbedingung für Fourier-transformierte Schrödinger-Gleichung

Ich habe in diesem Thread Zeitabhängige Schrödinger-Gleichung gefragt , wie man die zeitabhängige Schrödinger-Gleichung löst. Eine der Empfehlungen von JamalS war die Fourier-Transformation, weshalb ich sein Beispiel zitieren möchte:

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Beispiel

Betrachten Sie als Beispiel den Fall$V(x,t)=\delta(t)$, in diesem Fall wird die Schrödinger-Gleichung zu

$$i\hbar \frac{\partial \psi}{\partial t} = -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2} + \delta(t)\psi$$

Wir können die Fourier-Transformation in Bezug auf nehmen$t$, statt$x$, um den Kreisfrequenzraum zu betreten:

$$-\hbar\omega \, \Psi(\omega,x)=-\frac{\hbar^2}{2m}\Psi''(\omega,x) + \psi(0,x)$$

was, wenn die Anfangsbedingungen bekannt sind, eine potentiell einfache Differenzialgleichung zweiter Ordnung ist, die man dann mit der inversen Fourier-Transformation auf die Lösung anwenden kann.

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Meine Frage wäre nun: Was sind sinnvolle Anfangsbedingungen für diese ODE? Ich meine, was Sie sich wahrscheinlich ansehen möchten, ist, wie eine Wellenfunktion funktioniert$\Psi(t=0,x)$breitet sich rechtzeitig aus? Wie stellt man also sinnvolle Anfangsbedingungen für diese Fourier-transformierte Schrödinger-Gleichung auf? Sie müssen sich nicht auf diese bestimmte ODE (mit diesem Potenzial) beziehen. Meine Frage ist eher: Wenn Sie diese ODE lösen, was sind geeignete Anfangs- / Randbedingungen für diese Fourier-transformierte ODE, denn hier versagt meine Vorstellungskraft.

Wenn etwas unklar ist, lassen Sie es mich bitte wissen.