Angewandte Kraft in einem Nicht-Trägheitsrahmen

Wenn der Beobachter nur die Position messen kann$\mathbf{r}'$, Geschwindigkeit$\dot{\mathbf{r}}'$und Beschleunigung$\ddot{\mathbf{r}}'$dann werden die Bewegungsgleichungen aus der Kinematik abgeleitet

$$\mathbf{r} = \mathbf{r}_{S'} + \mathrm{R}_{S'} \mathbf{r}'$$

$\mathbf{r}$Koordinaten des Teilchens im Inertialsystem,$\mathbf{r}_{S'}=0$Lage von S' relativ zum Trägheitsrahmen,$\mathrm{R}_{S'}$ $3×3$Rotationsmatrix von S'.

Nehmen Sie die Gesamtableitung des Obigen und notieren Sie sich das$\dot{\mathrm{R}}_{S'} = {\boldsymbol \omega} \times \mathrm{R}_{S'}$.

$$\mathbf{v} = \mathbf{v}_{S'} + {\boldsymbol \omega} \times \mathrm{R}_{S'} \mathbf{r}' + \mathrm{R}_{S'} \dot{\mathbf{r}}'$$

wieder differenzieren und ähnliche Begriffe sammeln

$$\mathbf{a} = \underbrace{ \mathbf{a}_{S'}}_{\text{Frame accel.}} + \underbrace{ {\boldsymbol \alpha} \times \mathrm{R}_{S'} \mathbf{r}'}_{\text{Euler accel.}} + \underbrace{ \mathrm{R}_{S'}\ddot{\mathbf{r}}'}_{\text{Observ. accel.}} + \underbrace{ {\boldsymbol \omega} \times ({\boldsymbol \omega} \times \mathrm{R}_{S'} \mathbf{r}')}_{\text{Centripetal accl.}}+\underbrace{2 {\boldsymbol \omega} \times \mathrm{R}_{S'}}_{\text{Coriolis accel.}} \dot{\mathbf{r}}'$$

Bedenkt, dass$\mathbf{F} = m \,\mathbf{a}$Sie können das Obige in "fiktive Kräfte" umwandeln und auflösen$\mathbf{F}' = m \ddot{\mathbf{r}}'$. Es ist einfach, den Moment zu betrachten, in dem die Achsen fluchten$\mathrm{R}_{S'}=[1]$

$$\mathbf{F}' = m \ddot{\mathbf{r}}' = \mathbf{F} - m \mathbf{a}_{S'} - {\boldsymbol \alpha} \times m \mathbf{r}' - {\boldsymbol \omega}\times({\boldsymbol \omega} \times m \mathbf{r}') -2 {\boldsymbol \omega} \times m \dot{\mathbf{r}}'$$