Lagrangedichte rotierender Federn

Ich versuche, die Lagrange-Funktion für das folgende Szenario zu konstruieren. Eine Drehscheibe mit Radius R dreht sich mit Winkelgeschwindigkeit ω , durch einen Motor gehalten. Zwei Federn mit Hookescher Konstante k sind an gegenüberliegenden Punkten an der Außenkante des Drehtellers befestigt, und das andere Ende jeder Feder ist an einer einzelnen Punktmasse befestigt M . Die Masse kann sich entlang des Drehtellers frei in jede Richtung bewegen, ist jedoch darauf beschränkt, mit ihm in Kontakt zu bleiben. Ich habe die anfängliche Einrichtung unten gezeichnet.Geben Sie hier die Bildbeschreibung ein

In diesem Fall habe ich genommen X Und j Trägheitskoordinaten sein (die sich nicht mit dem Drehtisch drehen). Die kinetische Energie ist einfach T = 1 2 M ( X ˙ 2 + j ˙ 2 ) . Nehmen wir nun an, dass die Federn anfänglich mit der ausgerichtet sind X Achse können wir die Kraft aufgrund einer virtuellen Verschiebung von der Mitte des Drehtellers untersuchen, um das Potential abzuleiten. Wenn die Masse um einen bestimmten Betrag verschoben wird X ich ^ + j J ^ dann ist die Kraft aufgrund der Feder auf der linken Seite F → 1 = − k ( X + R ) ich ^ − k j J ^ und die Kraft aufgrund der Feder rechts ist F → 2 = − k ( X − R ) ich ^ − k j J ^ so ist die Nettokraft aufgrund der beiden Federn

F → = F → 1 + F → 2 = − 2 k X ich ^ − 2 k j J ^ .
Ein Potential für dieses System ist dann v = k ( X 2 + j 2 ) wie früher − ∇ v = F → . Für einige Zeit T > 0 , wir können die Federn mit dem Drehteller drehen, um die neuen Kräfte zu erhalten
F → 1 = − k [ ( X + R cos ⁡ ω T ) ich ^ + ( j + R Sünde ⁡ ω T ) J ^ ]
Und
F → 2 = − k [ ( X − R cos ⁡ ω T ) ich ^ + ( j − R Sünde ⁡ ω T ) J ^ ]
was zu einer Nettokraft führt
F → = − 2 k X ich ^ − 2 k j J ^
und damit ein zeitunabhängiges Potential v = k ( X 2 + j 2 ) . Der Lagrange ist daher
L = T − v = 1 2 M ( X ˙ 2 + j ˙ 2 ) − k ( X 2 + j 2 )
die unabhängig von der Rotation des Plattentellers ist. Das macht für mich nicht viel Sinn, denn selbst wenn der Drehtisch einer Winkelbeschleunigung ausgesetzt ist, sind die Bewegungsgleichungen für die Masse dieselben, als ob der Drehtisch ruht. Habe ich hier etwas übersehen? Ich glaube, der Lagrange sollte eine gewisse Abhängigkeit von der Rotation des Plattentellers haben.

Antworten (1)

Ihre Intuition ist wahrscheinlich richtig. Im Allgemeinen hängt die Lagrange-Funktion von der Rotation ab. Eines haben Sie bei Ihrer Herleitung vergessen, und das ist die natürliche Länge der Federn.

Lassen Sie uns die Verschiebung zwischen dem Ende der Feder, die an der Drehscheibe befestigt ist, zur Masse als bezeichnen R → 1 für Frühjahr 1 u R → 2 für Frühjahr 2. Die Masse befindet sich bei R → = X ich ^ + j J ^ . Dann haben wir

R → 1 = ( X − L cos ⁡ ( ω T ) ) ich ^ + ( j − L Sünde ⁡ ( ω T ) ) J ^ .
Wir erhalten eine ähnliche Gleichung für R → 2 :
R → 2 = ( X + L cos ⁡ ( ω T ) ) ich ^ + ( j + L Sünde ⁡ ( ω T ) ) J ^ .
Wenn wir die Kraft auf die Masse berechnen, haben wir
F → = F → 1 + F → 2
Wo
F → 1 , 2 = − k ( R 1 , 2 − L 0 ) R ^ 1 , 2 .
Die Gesamtkraft auf die Masse ist
F → = − k ( R → 1 + R → 2 ) − L 0 ( R ^ 1 + R ^ 2 ) F → = − 2 k ( R → + L 0 R ^ 1 + R ^ 2 2 )

Für den Fall, dass die natürliche Länge der Feder Null ist, erhalten Sie Ihr Ergebnis:

F → = − 2 k R → .
In diesem sehr speziellen Fall ist diese Kraft unabhängig von der Ausrichtung des Drehtellers, und somit spielt die Drehung des Drehtellers keine Rolle.

Im Allgemeinen haben wir jedoch L 0 ≠ 0 , und die Lagrange-Funktion hängt von der Ausrichtung des Plattentellers ab. Beachten Sie, dass der potenzielle Begriff im Allgemeinen nicht konservativ ist, da die Ausrichtung zeitabhängig ist (manchmal müssen Sie etwas Arbeit leisten, um den Drehteller mit einer konstanten Geschwindigkeit zu drehen).

Beantwortet das deine Frage?

Die natürliche Länge wird berücksichtigt. Es wird angenommen, dass die Feder am Rand des Drehtellers im Gleichgewicht ist.
Ich verstehe nicht, das Ändern der natürlichen Länge sollte die Bewegungsgleichungen nicht ändern, da die Masse immer in Richtung der Mitte des Plattentellers gezogen wird. Wenn wir nehmen L 0 ≠ 0 wir können einfach einen neuen Plattentellerradius in Betracht ziehen R − L Ö , dann befindet sich die natürliche Länge am Rand des Plattentellers.
Eigentlich nicht ganz. Ich habe die Lösung bearbeitet, um etwas klarer zu sein. Der Punkt ist, dass es einen Begriff gibt, der so aussieht L 0 ( R ^ 1 + R ^ 2 ) die nicht immer direkt in die Mitte des Tisches zeigt. Es ist ein bisschen subtil, aber es ist etwas ganz Besonderes, es zu haben L 0 = 0 .
Also haben wir das behauptet L 0 = 0 führt zu einer isotropen Rückstellkraft. Nehmen wir etwas am entgegengesetzten Extrembeispiel wo L 0 = R . Vorausgesetzt θ = 0 , wenn wir eine infinitesimale Verschiebung in x-Richtung betrachten, D X , bewirkt dies, dass sich jede Feder in der Länge ändert D L = D X . Betrachten wir nun eine Verschiebung in y-Richtung, erhalten wir D L = D j 2 + R 2 − R ≈ D j 2 / 2 R . In diesem Fall ist die Rückstellkraft also sehr anisotrop.
Oder betrachten Sie eine natürliche Länge größer als R. In diesem Fall ist das Gleichgewicht im Zentrum instabil, und bei der geringsten Abweichung in y-Richtung wird die Masse vom Zentrum abgestoßen.
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