Lagrange im rotierenden Bezugssystem

Ich habe eine Hausaufgabe, an der ich arbeite, und ich stecke im letzten Semester dieses Beweises fest. Das Problem besagt:

Frage: Stellen Sie sich einen grundierten Achsensatz vor, der im Ursprung mit einem Trägheitsachsensatz zusammenfällt, sich jedoch mit fester Winkelgeschwindigkeit in Bezug auf den Trägheitsrahmen dreht$\omega_0$. Wenn ein System von Massenpunkten Kräften ausgesetzt ist, die von einem konservativen Potential abgeleitet werden$V$Zeigen Sie, dass die Lagrangedichte für das System in Bezug auf die Koordinaten relativ zur gestrichenen Menge nur in Abhängigkeit von der Entfernung zum Ursprung geschrieben werden kann als

$$\mathcal{L} = T' + \omega \cdot L' + \frac{1}{2} \omega \cdot I' \cdot \omega_0 - V$$

wobei Primzahlen die Quantitäten angeben, die relativ zu dem gestrichenen Satz von Achsen ausgewertet werden.

Wichtige Hinweise: Hier$L'$ist der Drehimpuls im rotierenden Rahmen und$V$ist das Potential im nicht rotierenden Rahmen.

Lösungsversuch:

Wir wissen, dass die Lagrange-Funktion durch gegeben ist

$$\mathcal{L} = T_{tot} - V_{tot}$$

Ich werde fortfahren, indem ich nur ein Teilchen betrachte (dies ist ein Starrkörperproblem, wenn wir also beweisen, dass dies für ein Teilchen gilt, gilt es für eine Verteilung von Teilchen). Die kinetische Energie ist gleich,

$$T_{tot} = T_{rot}+T_{space}$$

wobei sich "Raum" auf die Raumkoordinaten im Inertialsystem bezieht. Wir bekommen$T_{space}$durch folgende Manipulation:

$$T_{space} = T_s = \frac{1}{2}mv\cdot v = \frac{1}{2}m v \cdot (\omega \times r)$$ $$\text{by triple product property } = \frac{1}{2}m \omega \cdot (r \times v)$$ $$=\frac{1}{2}\omega \cdot m(r \times v) = \frac{1}{2} \omega \cdot L$$ $$L = I \cdot \omega$$ $$T_s = \frac{1}{2} \omega \cdot I \cdot \omega$$

Damit erhalte ich einen der vier Terme. Nun betrachte ich die kinetische Energie und potentielle Energie im rotierenden Bezugssystem. Das Problem möchte ich in Bezug auf die kinetische Energie im Bezugssystem belassen$T'$, also bekomme ich diesen Begriff bereits (jetzt habe ich 2/4 Begriffe). Das Letzte, was zu berücksichtigen ist, ist die potentielle Energie im rotierenden Bezugssystem.

$$\mathcal{L} = T' - V' + \frac{1}{2} \omega \cdot I \cdot \omega$$

Wir wissen, dass in einem rotierenden Bezugssystem die effektive Kraft gegeben ist durch

$$F_{eff} = F - 2m(\omega \times v_{rot}) - m\omega \times (\omega \times r')$$ Wenn wir beide Seiten integrieren, erhalten wir

$$V' = V - \int 2m(\omega \times v_{rot}) dr - \int m\omega \times (\omega \times r) dr$$

Hier fange ich an, verwirrt zu werden (hoffentlich denke ich an diesen Schritt richtig) .$\omega$ist konstant, aber$v_r$sollte nicht sein, da Kräfte auf das Teilchen wirken. Daher würden wir erwarten, dass sich die Geschwindigkeit ändert. Ich weiß also nicht, wie ich diesen ersten Begriff integrieren soll. Ich könnte versuchen, die Geschwindigkeit in Bezug auf den Drehimpuls zu setzen (der eine Konstante sein sollte, weil es eine konservative Kraft ist), aber dann bekomme ich ein natürliches Log in meiner Antwort, was natürlich nicht richtig ist.

Den zweiten Begriff denke ich kann ich integrieren. In zylindrischen Koordinaten, wenn wir definieren$\vec{\omega} = \omega \hat{z}$Dann$\omega \times (\omega \times r) = -\omega^2 r$. Integration bekomme ich$-\frac{1}{2} m \omega^2 r^2$Ich bin mir nicht sicher, was ich mit diesem Begriff überhaupt anfangen soll.

Jede Hilfe, wo ich falsch gehe, wäre sehr dankbar! Danke.