Wenn kein reines Drehmoment angelegt wird, dreht sich ein starrer Körper niemals nur um den Massenmittelpunkt. Aber Sie haben Recht, wenn Sie das MMOI über den Schwerpunkt betrachten$I = \frac{m}{12} \ell^2$da dies die Drehbewegung definiert.

• Bewegung des Massenmittelpunkts $$\boldsymbol{v}_C =\frac{1}{m} \boldsymbol{p}$$ Wo$\boldsymbol{p}$ist der erhaltene lineare Impuls nach dem Aufprall
• Bewegung um den Massenmittelpunkt $$\boldsymbol{\omega} = \mathrm{I}^{-1} \boldsymbol{L}_C$$ Wo$\boldsymbol{L}_C = \boldsymbol{r} \times \boldsymbol{p}$ist der Drehimpuls um den Massenmittelpunkt nach dem Stoß.

Drehachse

Kennt man die Bewegung eines Punktes A auf einem starren Körper ($\boldsymbol{v}_A$,$\boldsymbol{\omega}$) dann hat die Rotationsachse folgende Eigenschaften

• Größe der Drehung $$\omega = \| \boldsymbol{\omega} \|$$
• Drehrichtung $$\boldsymbol{z} = \frac{1}{\omega} \boldsymbol{\omega}$$
• Nächstgelegener Punkt auf der Rotationsachse $$\boldsymbol{r}_{\rm rot} = \boldsymbol{r}_A + \frac{ \boldsymbol{\omega} \times \boldsymbol{v}_A}{ \omega^2 }$$

_{Wo fettgedruckte Symbole Vektoren sind, sind kursive Symbole Skalare,$\cdot$ist das Skalarprodukt und$\times$das Vektorkreuzprodukt.}

Die planare Ausdehnung ist

$$\boldsymbol{r}_{\rm rot} = \pmatrix{x_A \\ y_A} + \frac{1}{\omega} \pmatrix{-\dot{y}_A \\ \dot{x}_A }$$

_{$(x_A,\,y_A)$ist die Position von A und$(\dot{x}_A,\,\dot{y}_A)$die Geschwindigkeit von A und$\omega$die Rotationsgeschwindigkeit des Körpers.}

Beweis :

Expandieren$\boldsymbol{\omega} \times \boldsymbol{v}_A$wenn die Geschwindigkeit von A aus der Rotation definiert ist als$\boldsymbol{v}_A = \boldsymbol{\omega} \times( \boldsymbol{r}_A - \boldsymbol{r}_{\rm rot}) = -\boldsymbol{\omega} \times \boldsymbol{r}$Wo$\boldsymbol{r} = \boldsymbol{r}_{\rm rot} - \boldsymbol{r}_A$

$$\require{cancel} \begin{aligned} \boldsymbol{\omega} \times \boldsymbol{v}_A & = \boldsymbol{\omega} \times ( -\boldsymbol{\omega} \times \boldsymbol{r}) \\ & = -\boldsymbol{\omega} (\cancelto{0}{ \boldsymbol{\omega} \cdot \boldsymbol{r}}) + \boldsymbol{r} ( \boldsymbol{\omega} \cdot \boldsymbol{\omega} ) = \boldsymbol{r}\, \omega^2 \end{aligned}$$

Achse des Impulses

In ähnlicher Weise gegeben ist der Impuls an einem Punkt A auf einem starren Körper ($\boldsymbol{p}$,$\boldsymbol{L}_A$) die Schlagachse ist definiert als

• Größe des Impulses $$p = \| \boldsymbol{p} \|$$
• Drehrichtung $$\boldsymbol{e} = \frac{1}{p} \boldsymbol{p}$$
• Nächstgelegener Punkt auf der Schlagachse $$\boldsymbol{r}_{\rm per} = \boldsymbol{r}_A + \frac{ \boldsymbol{p} \times \boldsymbol{L}_A}{ p^2 }$$

Planarer Fall

Es gibt eine besondere Beziehung in den planaren Fällen. Betrachten Sie das Diagramm unten. Die Schlagachse ist eine senkrechte Strecke$d$vom Massenmittelpunkt. Das Objekt hat einen Trägheitsradius$r$. Das Rotationszentrum liegt mit Abstand auf der anderen Seite des Massenmittelpunkts$c$.

$$\boxed{ c = \frac{r^2}{d} }$$

Beispiel

Ein dünner vertikaler Stab von Länge$\ell$und Masse$m$an einer Stelle geschlagen/getreten wird$d = \frac{1}{4} \ell$über dem Massenmittelpunkt. Finden Sie das Rotationszentrum und stellen Sie fest, ob sich das Ende der Stange vom Boden löst.

Das Massenträgheitsmoment ist$I = \frac{m}{12} \ell^2$so ist der Kreiselradius$r = \sqrt{ \frac{I}{m} } = \frac{\ell}{2 \sqrt{3}}$

Der Drehpunkt ist$c = \frac{r^2}{d} = \frac{ \frac{1}{12} \ell^2}{ \frac{1}{2} \ell} =\frac{1}{6} \ell$vom Massenmittelpunkt. Vom Ende ist dies$\frac{\ell}{2} - \frac{\ell}{6} = +\frac{\ell}{3}$.

Da sich das Rotationszentrum über dem Ende der Stange befindet, verliert die Stange den Bodenkontakt und gleitet nicht nur am Boden entlang.

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Verweise:

• "Warum gibt es Drehmoment?" : https://physics.stackexchange.com/a/242748/392
• "Kraft zwischen rotierenden Objekten berechnen": https://physics.stackexchange.com/a/350684/392
• "Warum sollte man den Trägheitsradius verwenden?" : https://physics.stackexchange.com/a/159035/392
• „Physikalische Bedeutung des Trägheitsmoments um eine Achse“: https://physics.stackexchange.com/a/280023/392

In der klassischen Mechanik wirken am Massenmittelpunkt starrer Körper alle äußeren Kräfte, unabhängig vom Angriffspunkt der Kraft. Das induziert eine Übersetzung des Körpers. Die Drehungen werden durch die Summe der Drehmomente rx F = I induziert$\alpha$vom Angriffspunkt bezogen auf den Massenmittelpunkt. Das ist alles, was Sie brauchen, damit die Stange flach auf dem Tisch liegt.

Wie bei Ihrem Beispiel der stehenden Stange wirkt die Schwerkraft auf den Massenmittelpunkt und induziert kein Drehmoment, aber Reibung kann ein "negatives" Drehmoment entgegen der Bewegung aufgrund der Kollision induzieren. In diesem Fall können Sie mit dem Wettbewerb zwischen statischer und kinetischer Reibung einen Fall erreichen, in dem je nach Angriffspunkt der äußeren Kraft entlang der Stange (oder der durch die Kollision induzierten Drehimpulserhaltung) mehr Translation oder mehr Rotation stattfindet
rxp = L).

Wenn Sie nun den Drehpunkt mit einer stehenden Stange auf dem Tisch fixieren, ist das natürlich anders, da alles ein Drehmoment ist, das auf den Drehpunkt am Tisch bezogen ist. In diesem Fall wirkt die Schwerkraft am Massenmittelpunkt der Stange und bringt ein Drehmoment auf, da keine Translation stattfindet. Aber ich denke, Sie führen Reibung in Ihre Diskussion ein, die irreführend ist, wenn Sie alles mental tun. Entschuldigen Sie das Fehlen von Gleichungen in meiner Antwort, aber ich kann es näher erläutern, wenn Sie möchten!