Referenzrahmentransformation für die Lagrange-Funktion eines geladenen Teilchens

Das Problem bei der Rede von sich bewegenden Referenzrahmen und „geladenen Teilchen in einem Magnetfeld“ besteht darin, dass letzterer Punkt nicht von allen Referenzrahmen geteilt wird.

Stellen Sie sich vor, Sie befinden sich in der Region mit einem statischen Magnetfeld$\mathbf{B}=\mathbf{B}\left(\mathbf{r}\right)$, und jetzt bewegen Sie sich zum sich bewegenden Referenzrahmen, der sich mit Geschwindigkeit bewegt$\mathbf{v}$. Naiv mag man sagen, dass das Magnetfeld in diesem neuen Bezugssystem liegen wird$\mathbf{B}=\mathbf{B}\left(\mathbf{r}-t\mathbf{v}\right)$. Aber wir wissen auch aus den Maxwell-Gleichungen, dass:

$\partial\mathbf{B}/\partial t=-\boldsymbol{\nabla}\times\mathbf{E}$

Sie sollten also ein elektrisches Feld bekommen! Nun, während meine Erklärung ein bisschen handgewellt ist, ist der letzte Punkt wahr. Wenn ein Beobachter ein reines statisches Magnetfeld in seinem Bezugsrahmen sieht, sieht ein anderer Beobachter, der sich relativ zum ersten bewegt, sowohl ein elektrisches als auch ein magnetisches Feld.

Um also bei Ihrer Aufgabe, den Lagrange-Operator im „rotierenden Rahmen“ zu finden, voranzukommen, müssen Sie mit einem allgemeineren Lagrange-Operator beginnen, der sowohl elektrische als auch magnetische Felder oder äquivalent sowohl Skalar- als auch Vektorpotentiale umfasst.

Als nächstes kommen wir zu der Aktion, die Sie zu minimieren versuchen. Derzeit erwägen Sie ein Problem, das wie folgt aussieht:

$S\left[\bar{x}\right]=\int_{t_a}^{t_b} dt \,L\left(\bar{x},\,\dot{\bar{x}},\,t\right)$

Wo$\bar{x}$ist die Flugbahn des Teilchens. Geometrisch gesprochen integrieren Sie auf einem 3-dimensionalen Unterraum in der 4-D-Raumzeit in der Region, die durch Einschränkungen begrenzt ist$t=t_b$Und$t=t_a$. Dies ist Frame-spezifisch, in einem anderen (bewegten) Frame (nennen Sie es$S'$), wird die Region, über die Ihre Integrale laufen, immer noch von zwei Ebenen begrenzt, aber sie sind nicht mehr gegeben durch$t'=???$Einschränkung, stattdessen wird die Einschränkung so etwas wie sein$\dots t'-\dots x'=const$, dh es wird sowohl Raum als auch Zeit involviert sein.

Anstatt also die zeitliche Dimension hervorzuheben, können Sie so etwas schreiben wie:

$S\left[\bar{x}\right]=\int_\Xi cd^4x \,\mathcal{L}\left(\bar{x},\,\dot{\bar{x}},\,x\right)$

Wobei das Integral nun über ein Raum-Zeit-Hypervolumen läuft$\Xi$Und$\mathcal{L}$ist die Lagrange-Dichte:

$L=\int_{V_{\Xi}} d^3 r \mathcal{L}$

Das sind jetzt nur noch Vorläufe (siehe Wiki ). Übrigens ist es in diesem Fall eine vernünftige Art, mit Ihrem Teilchen zu arbeiten, es durch die Vierstromdichte auszudrücken:

$J^\mu\left(x;\,\bar{x}\right) = \int cd\tau \,qu^\mu\,\delta^{(4)}\left(x-\bar{x}(\tau)\right)$

Wo$c$ist die Lichtgeschwindigkeit,$q$ist die Ladung des Teilchens,$\tau$ist die richtige Zeit, und$\delta^{(4)}$ist die 4d-Delta-Funktion.

Jetzt müssen Sie die Regeln für die Transformation zwischen den Koordinaten des beweglichen Rahmens und des statischen Rahmens angeben.

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