Annäherungen für die Bewegungsgleichungen eines Federpendels in 2D

Der einfachste Weg, all dies im Auge zu behalten, besteht darin, einen "Dummy"-Parameter einzuführen$\epsilon$was nur "zählt, wie klein die Dinge sind". Beginnen Sie also mit Ihrem anfänglichen Satz vollständiger Gleichungen

$$\begin{align*} (l+a)\ddot\theta + 2\dot\theta\dot a + g\sin\theta &= 0 \tag{1} \\ \ddot a - (l+a)\dot\theta^2 + g(1-\cos\theta) + \frac{k}{M}a &= 0. \tag{2} \end{align*}$$ und unter den Annäherungen wo $\theta$Und $a$klein sind, ersetzen $\theta\to \epsilon\theta$Und $a\to \epsilon a$. Mit diesem $\dot \theta \to \epsilon \dot\theta$usw. so werden Ihre Gleichungen $$\begin{align*} (l+\epsilon a)\epsilon \ddot\theta + 2\epsilon^2\dot\theta\dot a + g\sin\epsilon\theta &= 0 \tag{3}\\ \epsilon\ddot a - (l+\epsilon a)\epsilon^2 \dot\theta^2 + g(1-\cos\epsilon\theta) + \epsilon\frac{k}{M}a &= 0. \tag{4} \end{align*}$$ Sie können dann Ihre Bewegungsgleichungen linearisieren , dh alles auf Terme linear in erweitern $\epsilon$, was bedeutet, dass Sie alles wegwerfen $\epsilon^2$oder höher. Dies gibt sofort $$\begin{align} \epsilon l\ddot{\theta}+g\epsilon\theta&=0\\ \epsilon \ddot{a}+\epsilon\frac{k}{M}a&=0\, . \end{align}$$ Wenn Sie die Arbeit richtig gemacht haben, der Zähler $\epsilon$fällt einfach aus (wie hier). Dies macht deutlich, dass Terme in Ihrer ersten Gleichung wie $a\ddot{\theta}$Und $\dot{\theta}\dot{a}$sind von Größe $\epsilon^2$und kann ignoriert werden. Ebenso tötet dies in Ihrer zweiten Gleichung das Ganze sauber ab $(l+\epsilon a)\epsilon^2\dot{\theta}^2$da es Begriffe in enthält $\epsilon^2$Und $\epsilon^3$, und tötet auch die $(1-\cos\epsilon \theta)$Begriff.

Bei Problemen wie dem, das Sie haben, ersetzt nichts systematisches und sorgfältiges Behalten dessen, was als gering zu erwarten ist.

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Bearbeiten 1: Resonanz erfordert eine externe Antriebskraft und die Reaktion des Systems auf resonante oder nahezu resonante Eingabe ist nicht linear: Die Amplitude der Schwingung wird von einem nichtlinearen Faktor von dominiert$1/\sqrt{(\omega^2-\omega_0^2)^2+(\omega_0^2\omega^2/Q^2)}$das ist fast einzigartig, wenn der Qualitätsfaktor$Q$ist klein. Infolgedessen ist die Annahme einer kleinen Schwingungsamplitude in der Nähe eines Minimums des effektiven Potentials nicht gültig, und eine Linearisierung führt zu Unsinn (schreckliche Näherungslösung).

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Bearbeiten 2: Wenn Sie "die nächste Bestellung" wollen, müssen Sie durch sukzessive Annäherung lösen. Ich werde dies nur für die skizzieren$\theta$Freiheitsgrad. Sie vermuten

$$\begin{align} \theta(t)&=A\cos\omega_\theta t + \epsilon F_\theta(t) \tag{5}\\ a(t)&=B\cos\omega_a t +\epsilon G_a(t) \tag{6} \end{align}$$ (Ich vertraue darauf, dass die Notation offensichtlich ist.) Einsetzen von Gl. (5) und Gl. (6) in die Bewegungsgleichung für $\theta$, Gl. (3), und Setzen separater Potenzen von $\epsilon$Zu $0$; Wenn meine Algebra richtig ist, bekommen Sie $$\begin{align} 0&=\epsilon\,A \cos(\omega_\theta t) \left(g - l\omega^2_\theta\right) \tag{7} \\ 0&=\epsilon^2\left(-A B \omega^2_\theta \cos(\omega_a t)\cos(\omega_\theta t)+g F_\theta(t)+2 A B \omega_a\omega_\theta \sin(\omega_\theta t)\sin(\omega_a t)+ l \ddot{F_\theta}\right)\, . \tag{8} \end{align}$$

Erstaunlicherweise (und immer noch vorausgesetzt, meine Algebra stimmt!) ist diese Gleichung immer noch entkoppelt$\epsilon^2$, in dem Sinne, dass es nur beinhaltet$F_\theta$beinhaltet aber nicht$G_a$Sie haben also eine Standard-Differentialgleichung zweiter Ordnung, die einem angetriebenen Oszillator entspricht.

Die Bedingungen in$\cos(\omega_a t)\cos(\omega_\theta t)$Und$\sin(\omega_\theta t)\sin(\omega_a t)$angeben, dass Sie als Ansatz verwenden müssen

$$F_\theta(t)=C \cos\left((\omega_\theta-\omega_a)t\right)+ D \cos\left((\omega_\theta+\omega_a)t\right)\, ,$$ (Es könnten auch Begriffe in $\sin\left((\omega_\theta\pm\omega_a)t\right)$auch abhängig von Ihren Ausgangsbedingungen).

Sie müssen sorgfältig auf einige Resonanzbedingungen achten, die die Annahme widerlegen würden, dass der zusätzliche Term$\epsilon F_\theta$ist klein. Generell ist auch auf das Auftreten sogenannter weltlicher Begriffe zu achten. Ich glaube nicht, dass das hier passiert, aber wenn das passiert, muss man dann die Frequenzen erster Ordnung schreiben$\omega_a$Und$\omega_\theta$als eine Reihe der Form

$$\Omega_\theta^2=\omega_\theta^2+\epsilon (\omega^{(1)}_\theta)^2+\ldots$$ in einem Verfahren namens Lindstedt-Poincare-Methode.

b) Es ist legitim. Da für eine lineare Bewegung alle Terme zweiter Ordnung oder Terme höherer Ordnung aufgehoben werden, wie z$o(a^2),o(\theta^2),o(a\theta),o(\dot{a}\dot{\theta})$usw.

c) Die nächste Bestellung bedeutet, dass alle Bedingungen für dritte oder höhere Bestellungen storniert werden. Einfach erweitern$sin\theta$Und$cos\theta$Zu$o(\theta^3)$, können Sie eine gekoppelte Gleichung erhalten. Resonanz tritt nur auf, wenn die Eigenfrequenz des Systems gleich der angesteuerten Frequenz ist oder sich dieser annähert. Bei gekoppelter Bewegung treiben sich Dehnung und Winkelbewegung gegenseitig an, sodass Sie die beiden Frequenzen vergleichen können.