Annahmen bei der Berechnung der potentiellen Energie eines Systems

Bei der Berechnung der Gravitationspotentialenergie eines Systems aus zwei Massen M , M , das wird oft angenommen M ≫ M um die Bewegung der größeren Masse zu vernachlässigen M . Als Ergebnis kann die potentielle Energie berechnet werden

U ( R ) = − W G = − ∫ ∞ R − G M M R 2 = − G M M R ,
wo wir ansetzen U ( ∞ ) = 0 .

In dem Fall, dass M Und M sind von ähnlicher Masse, wie Masse M wird aus der Unendlichkeit in eine Ferne gebracht R (von einem festen Ursprung, sagen wir dem anfänglichen Ort der Masse M ), die Gravitationskraft aus M An M verursacht M sich von seiner ursprünglichen Position zu bewegen, wodurch die Gravitationskraft verändert wird, wodurch die obige Ableitung ungültig wird. (Die Gravitationskraft von M An M ist nicht mehr einfach F ( R ) = − G M M / R .) Wie finden wir die potentielle Energie dieses Systems? Warum können wir die größere Masse fixieren? Betrachten wir einfach die Änderung des Positionsvektors aus M Zu M ?

Wie würde man in ähnlicher Weise die potentielle Energie eines Systems aus zwei (oder mehr) Ladungen berechnen, wenn das Bewegen einer Ladung aus dem Unendlichen die aufgebaute Konfiguration verändert? Müssen wir die vorherigen Anklagepunkte „beibehalten“?

Es scheint, als wäre mein Verständnis der Definition von potentieller Energie fehlerhaft. Kann jemand die Definition erklären, bei der es darum geht, ein System zusammenzustellen?

Antworten (3)

Ausschlaggebend für die Berechnung sind Anfangs- und Endposition. Wenn sich die Massen bewegen, während sie aufgestellt werden, spielt dies keine Rolle. Dabei spielt es keine Rolle, ob M bewegt sich hin M , oder umgekehrt, oder beide bewegen sich aufeinander zu. Der PE hängt nur von ihrer Anfangs- und Endtrennung ab.

Da Schwerkraft und elektrostatische Kräfte konservativ sind, spielt es auch keine Rolle, in welcher Reihenfolge Sie die Massen in Position bringen oder welchen Weg Sie nehmen, um sie dorthin zu bringen. Sie können die Reihenfolge und Route wählen, die für Ihre Berechnung am einfachsten sind.

Wenn mehr als 2 Massen oder Ladungen vorhanden sind, können Sie das Superpositionsprinzip anwenden : Die potentielle Energie des Systems ist die Summe der potentiellen Energien jedes Paars von Objekten, die isoliert betrachtet werden.

Beginnen Sie mit einem beliebigen Objekt (1). Berechnen Sie dann die potentielle Energie zwischen ihm und jedem der anderen Objekte (2, 3, 4, ...) und erhalten Sie W 21 , W 31 , W 41 , . . . . Machen Sie dann dasselbe für Objekt 2, ignorieren Sie Objekt 1 und erhalten Sie W 32 , W 42 , W 52 , . . . für die potentiellen Energien jedes Paares. Jedes Mal, wenn Sie die niedriger nummerierten Objekte ignorieren, damit Sie kein Objektpaar mehr als einmal zählen.

Addieren Sie schließlich alle Energien zusammen, um die potentielle Energie der gesamten Konfiguration von Massen oder Ladungen zu erhalten:

W = W 21 + W 31 + W 41 + . . . W 32 + W 42 + W 52 + . . . W 43 + W 53 + W 63 + . . .

Für ein System von N Objekte gibt es 1 2 N ( N − 1 ) unterschiedliche Paare von Objekten, also müssen so viele Begriffe addiert werden.

Die endgültige Antwort ist also immer noch − G M M R ?
Ja, für zwei Punktmassen ist das die richtige Formel für PE. Wie gesagt, es spielt keine Rolle, welche Masse sich bewegt. Die Schwerkraft ist eine konservative Kraft, daher ist der Weg vom Anfangs- zum Endzustand irrelevant. Es kommt nur auf Anfangs- und Endzustände an, dh dass die Massen zunächst unendlich weit voneinander entfernt waren und schließlich Entfernung R auseinander.

Ich glaube, Sie sind verwirrt.

Das Potenzial wird noch sein − G M M R , aber das ändert sich wann M Und M vergleichbar in der Größe sind, dass die reduzierte (dh effektive) Masse μ = M M / ( M + M ) wird nicht länger sein μ ≈ M , wäre aber so klein wie μ = M / 2 . Dies wird die zeitliche Entwicklung des Gravitationssystems beeinflussen.

Die gleiche Überlegung gilt für ein System aus zwei elektrischen Ladungen (wenn wir die Dissipation durch Strahlung außer Acht lassen).

Warum kommt bei dieser Frage eine reduzierte Masse überhaupt in Frage? Der Momentanwert der Gravitationspotentialenergie ist − G M M R unabhängig von der relativen Größe der Massen. Die reduzierte Masse ist eine bequeme Transformation, um das Ergebnis von Bewegungen zu berücksichtigen, wenn die gesamte mechanische Energie verwendet wird.
@BillN Ja, beim erneuten Lesen dieser Antwort ein Jahr später wird auch die Relevanz nicht erkannt. Ich glaube, ich habe die Verwirrung des OP aufgegriffen, dass das Einbringen von Massen aus der Unendlichkeit ein tatsächlicher physikalischer Prozess war, in diesem Fall würde die relative Größe der Massen die Dynamik beeinflussen.

Das Fixieren eines Partikels bedeutet, eine Gegenkraft darauf anzuwenden, aber gleichzeitig wird durch diese Gegenkraft keine Arbeit geleistet (Arbeit = Kraft x Weg, also wenn der Weg 0 ist, ist die Arbeit 0), also keine Änderung in Energie (Arbeit ist gleichbedeutend mit Energieänderung).

Die einzige Änderung in der Energie des Systems wird durch die äußere Kraft verursacht, die das 2. Teilchen näher an das erste bringt. Das System startete mit 0 Energie, also muss die Endenergie (die auch die PE des Systems ist) gleich der Arbeit sein, die geleistet wird, um das zweite Teilchen zum ersten zu bringen.

Sie können die Fixierung als Einschränkung für das erste Teilchen betrachten, die seine Fähigkeit "deaktiviert", potentielle Energie in kinetische Energie umzuwandeln (und es ist in Ordnung, sie zu verwenden, da sie die Energie des Systems nicht ändert).

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